Самостоятельная работа С–1 по алгебре в 8 классе с ответами по теме «Преобразование целого выражения в многочлен (повторение)» для УМК Макарычев (с 2023 года). Код материалов: Алгебра 8 Самостоятельная 1.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 8 класс (Макарычев)
Самостоятельная работа № 1.
Самостоятельная С-1. Вариант 1.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
№ 1. Найдите сумму и разность двух многочленов:
а) 5x2 – 3х + 2 и –4х – 7;
б) x3 + 4x2 – 6х + 1 и 3х – 2x2 – 9.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
а) Многочлены: 5x^2 – 3x + 2 и –4x – 7
* Сумма:
(5x^2 – 3x + 2) + (–4x – 7) = 5x^2 – 3x + 2 – 4x – 7 = 5x^2 – 7x – 5
* Разность:
(5x^2 – 3x + 2) – (–4x – 7) = 5x^2 – 3x + 2 + 4x + 7 = 5x^2 + x + 9
б) Многочлены: x^3 + 4x^2 – 6x + 1 и 3x – 2x^2 – 9
* Сумма:
(x^3 + 4x^2 – 6x + 1) + (3x – 2x^2 – 9) = x^3 + 4x^2 – 2x^2 – 6x + 3x + 1 – 9
= x^3 + 2x^2 – 3x – 8
* Разность:
(x^3 + 4x^2 – 6x + 1) – (3x – 2x^2 – 9) = x^3 + 4x^2 – 6x + 1 – 3x + 2x^2 + 9
= x^3 + 6x^2 – 9x + 10
№ 2. Представьте в виде многочлена:
а) 3a2(4а – 5);
б) –2а (a2 –7а + 3);
в) (4x – 1) (2x + 3) – 8x2;
г) (x – 2) (6x2 – 5x + 1) – (11x – 2).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
а) 3a^2(4a – 5) = 3a^2 • 4a + 3a^2 • (─5) = 12a^3 – 15a^2
б) –2a (a^2 – 7a + 3) = ─2a • a^2 + (─2a) • (─7a) + (─2a) • 3
= ─2a^3 + 14a^2 – 6a
в) (4x – 1) (2x + 3) – 8x^2
Сначала умножим скобки:
(4x – 1)(2x + 3) = 4x • 2x + 4x • 3 + (─1) • 2x + (─1) • 3
= 8x^2 + 12x – 2x – 3 = 8x^2 + 10x – 3
Теперь вычтем 8x^2:
(8x^2 + 10x – 3) – 8x^2 = 10x – 3
г) (x – 2) (6x^2 – 5x + 1) – (11x – 2)
Сначала умножим скобки:
(x – 2)(6x^2 – 5x + 1) = x • 6x^2 + x • (─5x) + x • 1 + (─2) • 6x^2
+ (─2) • (─5x) + (─2) • 1 = 6x^3 – 5x^2 + x – 12x^2 + 10x – 2
Приведем подобные слагаемые:
6x^3 + (─5x^2 – 12x^2) + (x + 10x) – 2 = 6x^3 – 17x^2 + 11x – 2
Теперь вычтем (11x – 2):
(6x^3 – 17x^2 + 11x – 2) – (11x – 2) = 6x^3 – 17x^2 + 11x – 2 – 11x + 2
= 6x^3 – 17x^2.
№ 3. Представьте в виде многочлена, применяя соответствующую формулу сокращённого умножения:
а) (b – 3) (b + 3); г) (7а + 5)2;
б) (3a2 + 4) (4 – 3a2); д) (b – 1)3;
в) (b – 4)2; е) (2а + 1) (4a2 – 2а + 1).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
а) (b – 3)(b + 3) — формула разности квадратов:
(b)^2 ─ (3)^2 = b^2 ─ 9
б) (3a^2 + 4)(4 – 3a^2) — формула разности квадратов (x+y)(x─y)=x^2─y^2:
Перепишем второй множитель: (4 – 3a^2) = ─(3a^2 ─ 4), но удобнее увидеть, что
(3a^2 + 4)(4 – 3a^2) = (4 + 3a^2)(4 – 3a^2) = (4)^2 ─ (3a^2)^2 = 16 ─ 9a^4
в) (b – 4)^2 — формула квадрата разности:
(b)^2 ─ 2 • b • 4 + (4)^2 = b^2 ─ 8b + 16
г) (7a + 5)^2 — формула квадрата суммы:
(7a)^2 + 2 • 7a • 5 + (5)^2 = 49a^2 + 70a + 25
д) (b – 1)^3 — формула куба разности:
(b)^3 ─ 3 • (b)^2 • 1 + 3 • b • (1)^2 ─ (1)^3 = b^3 ─ 3b^2 + 3b ─ 1
е) (2a + 1)(4a^2 – 2a + 1) — формула суммы кубов (x+y)(x^2 ─ xy + y^2) = x^3 + y^3 :
Здесь x = 2a, y = 1:
(2a)^3 + (1)^3 = 8a^3 + 1.
Самостоятельная С-1. Вариант 2.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
№ 1. Найдите сумму и разность двух многочленов:
а) 4y2 + 3у – 5 и –6у – 8;
б) 2у3 – 5y2 + 7у – 2 и 4у – y2 + 8.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
а) Многочлены: 4y^2 + 3y ─ 5 и ─6y ─ 8
* Сумма:
(4y^2 + 3y ─ 5) + (─6y ─ 8) = 4y^2 + (3y ─ 6y) + (─5 ─ 8) = 4y^2 ─ 3y ─ 13
* Разность:
(4y^2 + 3y ─ 5) ─ (─6y ─ 8) = 4y^2 + 3y ─ 5 + 6y + 8 = 4y^2 + (3y + 6y) + (─5 + 8) = 4y^2 + 9y + 3
б) Многочлены: 2y^3 ─ 5y^2 + 7y ─ 2 и 4y ─ y^2 + 8
* Сумма:
(2y^3 ─ 5y^2 + 7y ─ 2) + (4y ─ y^2 + 8) = 2y^3 + (─5y^2 ─ y^2) + (7y + 4y) + (─2 + 8) = 2y^3 ─ 6y^2 + 11y + 6
* Разность:
(2y^3 ─ 5y^2 + 7y ─ 2) ─ (4y ─ y^2 + 8) = 2y^3 ─ 5y^2 + 7y ─ 2 ─ 4y + y^2 ─ 8 =
= 2y^3 + (─5y^2 + y^2) + (7y ─ 4y) + (─2 ─ 8) = 2y^3 ─ 4y^2 + 3y ─ 10.
№ 2. Представьте в виде многочлена:
а) 6b2 (2b – 3);
б) –3х (x2 + 8х – 9);
в) (5у + 1) (3у – 2) – 15y2;
г) (а – 3) (5a2 – 4а + 2) – (14а – 19a2).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
а) 6b^2 (2b ─ 3)
6b^2 • 2b + 6b^2 • (─3) = 12b^3 ─ 18b^2
б) ─3x (x^2 + 8x ─ 9)
─3x • x^2 + (─3x) • 8x + (─3x) • (─9) = ─3x^3 ─ 24x^2 + 27x
в) (5y + 1)(3y ─ 2) ─ 15y^2
(5y • 3y + 5y • (─2) + 1 • 3y + 1 • (─2)) ─ 15y^2 = (15y^2 ─ 10y + 3y ─ 2) ─ 15y^2 =
= 15y^2 ─ 7y ─ 2 ─ 15y^2 = ─7y ─ 2
г) (a ─ 3)(5a^2 ─ 4a + 2) ─ (14a ─ 19a^2)
Сначала умножим (a ─ 3) на трёхчлен:
a • 5a^2 + a • (─4a) + a • 2 + (─3) • 5a^2 + (─3) • (─4a) + (─3) • 2 =
= 5a^3 ─ 4a^2 + 2a ─ 15a^2 + 12a ─ 6 = 5a^3 + (─4a^2 ─ 15a^2) + (2a + 12a) ─ 6 = 5a^3 ─ 19a^2 + 14a ─ 6
Теперь вычтем второй многочлен, не забыв сменить знаки:
(5a^3 ─ 19a^2 + 14a ─ 6) ─ (14a ─ 19a^2) = 5a^3 ─ 19a^2 + 14a ─ 6 ─ 14a + 19a^2 =
= 5a^3 + (─19a^2 + 19a^2) + (14a ─ 14a) ─ 6 = 5a^3 ─ 6.
№ 3. Представьте в виде многочлена, применяя соответствующую формулу сокращённого умножения:
а) (а – 5) (а + 5); г) (4b + 9)2;
б) (6x2 + 7) (7 – 6x2); д) (а + 2)3;
в) (х – 3)2; е) (3b – 1) (9b2 + 3b + 1).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
а) (a ─ 5)(a + 5) (Разность квадратов)
(a ─ 5)(a + 5) = a^2 ─ 5^2 = a^2 ─ 25
б) (6x^2 + 7)(7 ─ 6x^2) (Разность квадратов)
(6x^2 + 7)(7 ─ 6x^2) = (7 + 6x^2)(7 ─ 6x^2) = 7^2 ─ (6x^2)^2 = 49 ─ 36x^4
в) (x ─ 3)^2 (Квадрат разности)
(x ─ 3)^2 = x^2 ─ 2 • x • 3 + 3^2 = x^2 ─ 6x + 9
г) (4b + 9)^2 (Квадрат суммы)
(4b + 9)^2 = (4b)^2 + 2 • 4b • 9 + 9^2 = 16b^2 + 72b + 81
д) (a + 2)^3 (Куб суммы)
(a + 2)^3 = a^3 + 3 • a^2 • 2 + 3 • a • 2^2 + 2^3 = a^3 + 6a^2 + 12a + 8
е) (3b ─ 1)(9b^2 + 3b + 1) (Разность кубов)
Формула: m^3 ─ n^3 = (m ─ n)(m^2 + mn + n^2). Здесь m = 3b, n = 1.
(3b ─ 1)(9b^2 + 3b + 1) = (3b)^3 ─ 1^3 = 27b^3 ─ 1.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по алгебре 8 класс с ответами для УМК Макарычев (с 2023 года). Код материалов: Алгебра 8 Самостоятельная 1.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)