Самостоятельная работа С–25 по алгебре 8 класс с ответами «Разложение квадратного трёхчлена на множители» для УМК Макарычев (с 2023 года). Код материалов: Алгебра 8 Самостоятельная 25.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 8 класс (Макарычев)
Самостоятельная № 25
Проверяемая тема: «Разложение квадратного трёхчлена на множители».
Варианты 1-2 (задания).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
ОТВЕТЫ на Вариант 1
№ 1. Разложите квадратный трёхчлен 3x² + 13x ─ 10 на множители.
Решение:
Найдём корни уравнения 3x² + 13x ─ 10 = 0:
Дискриминант D = 13² ─ 4 • 3 • (─10) = 169 + 120 = 289 = 17².
Корни:
x_{1,2} = (─13 ± 17)/2 • 3 = (─13 ± 17)/6
x₁ = (─13 + 17)/6 = 4/6 = 2/3, x₂ = (─13 ─ 17)/6 = (─30)/6 = ─5
Разложение:
3x² + 13x ─ 10 = 3 (x ─ 2/3)(x + 5) = (3x ─ 2)(x + 5)
✅ Ответ: (3x ─ 2)(x + 5).
№ 2. Сократите дробь (2x² + x ─ 15)/(x² + 6x + 9).
Решение:
1. Числитель: 2x² + x ─ 15.
D = 1 + 120 = 121 = 11².
Корни: x_{1,2} = (─1 ± 11)/4,
x₁ = 10/4 = 5/2, x₂ = (─12)/4 = ─3.
Значит, 2x² + x ─ 15 = 2(x ─ 5/2)(x + 3) = (2x ─ 5)(x + 3).
2. Знаменатель: x² + 6x + 9 = (x + 3)².
3. Дробь:
(2x ─ 5)(x + 3)/((x + 3)²) = (2x ─ 5)/(x + 3), x ≠ ─3
✅ Ответ: (2x ─ 5)/(x + 3).
№ 3. Найдите наименьшее значение квадратного трёхчлена 2x² ─ 8x + 12.
Решение:
Коэффициент a = 2 > 0, значит, ветви параболы направлены вверх, минимум достигается в вершине.
Абсцисса вершины: x₀ = ─ b/2a = 8/4 = 2.
Подставляем:
y_{min} = 2 • 2² ─ 8 • 2 + 12 = 8 ─ 16 + 12 = 4
✅ Ответ: 4.
ОТВЕТЫ на Вариант 2
№ 1. Разложите квадратный трёхчлен 4x² ─ 5x ─ 6 на множители.
Решение:
Корни уравнения 4x² ─ 5x ─ 6 = 0:
D = 25 + 96 = 121 = 11².
x_{1,2} = 5 ± 11/8
x₁ = 16/8 = 2, x₂ = (─6)/8 = ─ 3/4.
Разложение:
4x² ─ 5x ─ 6 = 4(x ─ 2)(x + 3/4) = (x ─ 2)(4x + 3)
✅ Ответ: (x ─ 2)(4x + 3).
№ 2. Сократите дробь (x² ─ 25)/(2x² ─ 7x + 15).
Решение:
Числитель: x² ─ 25 = (x ─ 5)(x + 5).
Знаменатель: 2x² ─ 7x + 15.
Дискриминант знаменателя: D = 49 ─ 120 = ─71 < 0, значит, знаменатель на множители с действительными коэффициентами не раскладывается, общих множителей с числителем нет.
Дробь несократима.
✅ Ответ: (x² ─ 25)/(2x² ─ 7x + 15) — сократить нельзя.
№ 3. Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена ─3x² ─ 6x + 9.
Решение:
Коэффициент a = ─3 < 0, ветви вниз, максимум в вершине.
Абсцисса вершины: x₀ = ─ b/2a = 6/(─6) = ─1.
Подставляем:
y_{max} = ─3 • (─1)² ─ 6 • (─1) + 9 = ─3 + 6 + 9 = 12
✅ Ответ: 12.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по алгебре 8 класс с ответами для УМК Макарычев (с 2023 года). Код материалов: Алгебра 8 Самостоятельная 25.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)