Самостоятельная работа С–27 по алгебре 8 класс с ответами «Решение задач с помощью рациональных уравнений» для УМК Макарычев (с 2023 года). Код материалов: Алгебра 8 Самостоятельная 27.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 8 класс (Макарычев)
Самостоятельная № 27
Проверяемая тема: «Решение задач с помощью рациональных уравнений».
Варианты 1-2 (задания).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
ОТВЕТЫ на Вариант 1
№ 1. Два велосипедиста одновременно отправились в 88─километровый пробег. Скорость одного была на 3 км/ч больше скорости другого, и поэтому он прибыл к финишу на 3 ч раньше. Найдите скорость каждого велосипедиста.
Решение: Пусть скорость первого велосипедиста v км/ч, тогда скорость второго v + 3 км/ч.
Время первого: t₁ = 88/v ч.
Время второго: t₂ = 88/(v + 3) ч.
По условию первый прибыл на 3 ч позже второго (второй быстрее), значит:
88/v ─ 88/(v + 3) = 3
Умножим на v(v + 3) :
88(v + 3) ─ 88v = 3v(v + 3)
88v + 264 ─ 88v = 3v² + 9v
264 = 3v² + 9v
3v² + 9v ─ 264 = 0
v² + 3v ─ 88 = 0
Дискриминант: D = 9 + 352 = 361, √D = 19.
v = (─3 ± 19)/2
v₁ = 8 (положительное), v₂ = ─11 (не подходит).
Скорость первого: v = 8 км/ч.
Скорость второго: v + 3 = 11 км/ч.
Проверка:
Время первого: 88/8 = 11 ч.
Время второго: 88/11 = 8 ч.
Разница: 11 ─ 8 = 3 ч — верно.
✅ Ответ: 8 км/ч и 11 км/ч.
№ 2. Два шофёра, работая вместе, могут перевезти груз за 4 ч. За какое время мог бы перевезти груз каждый шофёр в отдельности, если первому потребовалось бы на это на 6 ч больше, чем второму?
Решение: Пусть второму шофёру нужно x часов, тогда первому x + 6 часов.
Производительности: 1/x и 1/(x + 6) (частей работы в час).
Вместе за 1 час: 1/x + 1/(x + 6).
Вместе всю работу делают за 4 часа:
4 (1/x + 1/(x + 6)) = 1
1/x + 1/(x + 6) = ¼
Умножим на 4x(x + 6) :
4(x + 6) + 4x = x(x + 6)
4x + 24 + 4x = x² + 6x
8x + 24 = x² + 6x
x² ─ 2x ─ 24 = 0
Дискриминант: D = 4 + 96 = 100, √D = 10.
x = 2 ± 10/2
x₁ = 6 (положительное), x₂ = ─4 (не подходит).
Второй шофёр: x = 6 ч.
Первый шофёр: x + 6 = 12 ч.
Проверка:
Производительности: 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = (1/4) работы в час, значит вместе за 4 часа — верно.
✅ Ответ: первый за 12 ч, второй за 6 ч.
ОТВЕТЫ на Вариант 2
№ 1. Из города А в город В, расстояние между которыми равно 120 км, выехали одновременно два велосипедиста. Скорость одного была на 3 км/ч больше скорости другого, и поэтому он прибыл в город В на 2 ч раньше. Найдите скорость каждого велосипедиста.
Решение: Пусть скорость медленного v км/ч, тогда быстрого v + 3 км/ч.
Время медленного: 120/v ч, быстрого: 120/(v + 3) ч.
Разница:
120/v ─ 120/(v + 3) = 2
Умножим на v(v + 3) :
120(v + 3) ─ 120v = 2v(v + 3)
120v + 360 ─ 120v = 2v² + 6v
360 = 2v² + 6v
2v² + 6v ─ 360 = 0
v² + 3v ─ 180 = 0
Дискриминант: D = 9 + 720 = 729, √D = 27.
v = (─3 ± 27)/2
v₁ = 12 (положительное), v₂ = ─15 (не подходит).
Скорость медленного: 12 км/ч.
Скорость быстрого: 15 км/ч.
Проверка:
Время: 120/12 = 10 ч, 120/15 = 8 ч, разница 2 ч — верно.
✅ Ответ: 12 км/ч и 15 км/ч.
№ 2. Мастер и ученик, работая вместе, могут выполнить всю работу за 8 дней. За какое время мог бы выполнить данную работу каждый из них в отдельности, если ученику потребовалось бы на это на 12 дней больше, чем мастеру?
Решение: Пусть мастеру нужно x дней, тогда ученику x + 12 дней.
Производительности: 1/x и 1/(x + 12).
Вместе за 1 день: 1/x + 1/(x + 12).
Вместе за 8 дней выполняют всю работу:
8 (1/x + 1/(x + 12)) = 1
1/x + 1/(x + 12) = 1/8
Умножим на 8x(x + 12) :
8(x + 12) + 8x = x(x + 12)
8x + 96 + 8x = x² + 12x
16x + 96 = x² + 12x
x² ─ 4x ─ 96 = 0
Дискриминант: D = 16 + 384 = 400, √D = 20.
x = 4 ± 20/2
x₁ = 12 (положительное), x₂ = ─8 (не подходит).
Мастер: x = 12 дней.
Ученик: x + 12 = 24 дня.
Проверка:
Производительности: 1/12 + 1/24 = 2/24 + 1/24 = 3/24 = (1/8) работы в день, значит вместе за 8 дней — верно.
✅ Ответ: мастер за 12 дней, ученик за 24 дня.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по алгебре 8 класс с ответами для УМК Макарычев (с 2023 года). Код материалов: Алгебра 8 Самостоятельная 27.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)