Самостоятельная работа С–29 по алгебре 8 класс с ответами «Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными» для УМК Макарычев (с 2023 года). Код материалов: Алгебра 8 Самостоятельная 29.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 8 класс (Макарычев)
Самостоятельная № 29
Проверяемая тема: «Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными».
Вариант 1 (задания).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
ОТВЕТЫ на Вариант 1
№ 1. Выясните, имеет ли система уравнений решения и сколько:
► а)
{ 2x ─ y = 7,
{ 3y = 2/3x ─ 21.
Решение:
1. Приведём второе уравнение к стандартному виду.
Умножим обе части на 3:
9y = 2x ─ 63
Переносим всё влево:
2x ─ 9y = 63.
2. Система теперь:
{ 2x ─ y = 7 1
{ 2x ─ 9y = 63 2
3. Вычтем 1 из 2:
(2x ─ 9y) ─ (2x ─ y) = 63 ─ 7
─9y + y = 56
─8y = 56
y = ─7.
4. Подставим в 1:
2x ─ (─7) = 7
2x + 7 = 7
2x = 0
x = 0.
5. Проверка во втором исходном уравнении:
3y = 2/3x ─ 21
3(─7) = 2/3 • 0 ─ 21
─21 = ─21 — верно.
✅ Ответ: система имеет единственное решение (0; ─7).
► б)
{ 5x + 2y = 9,
{ y = 2,5x ─ 4,5.
Решение:
1. Подставим y из второго уравнения в первое:
5x + 2(2,5x ─ 4,5) = 9
5x + 5x ─ 9 = 9
10x ─ 9 = 9
10x = 18
x = 1,8.
2. Найдём y :
y = 2,5 • 1,8 ─ 4,5
y = 4,5 ─ 4,5 = 0.
3. Проверка в первом уравнении:
5 • 1,8 + 2 • 0 = 9 — верно.
✅ Ответ: единственное решение (1,8; 0).
► в)
{ 2x ─ 7y ─ 3 = 0,
{ x = 3,5y + 1,5.
Решение:
1. Подставим x из второго уравнения в первое:
2(3,5y + 1,5) ─ 7y ─ 3 = 0
7y + 3 ─ 7y ─ 3 = 0
0 = 0 — тождество.
2. Второе уравнение: x = 3,5y + 1,5.
Первое уравнение 2x ─ 7y = 3 эквивалентно второму (умножим второе на 2: 2x = 7y + 3 → 2x ─ 7y = 3).
✅ Ответ: система имеет бесконечно много решений вида (3,5y + 1,5; y), где y — любое число.
№ 2. Прямая l задана уравнением x + 3y = 4. Даны уравнения прямых:
1) x ─ 3y = 4
2) 2/3x + 6y = 0
3) y + 1/3x = 4/3
4) x + y = 4
5) 3x + y = 12
6) 2x ─ 6y = 5
7) 0,6x + 1,8y = 1,2
8) 6y = 3 ─ 2x
найдите те, которые вместе с уравнением прямой l образуют систему:
1) имеющую единственное решение;
2) не имеющую решений;
3) имеющую бесконечно много решений.
Решение:
Прямая l : x + 3y = 4 → 3y = ─x + 4 → y = ─ 1/3x + 4/3.
Угловой коэффициент k₁ = ─ 1/3.
► 1) Единственное решение — прямые пересекаются (разные угловые коэффициенты).
─ 1 x ─ 3y = 4 → ─3y = ─x + 4 → y = 1/3x ─ 4/3, k = 1/3 ≠ ─ 1/3 — единственное решение.
─ 2 2/3x + 6y = 0 → 6y = ─ 2/3x → y = ─ 1/9x, k = ─ 1/9 ≠ ─ 1/3 — единственное решение.
─ 4 x + y = 4 → y = ─x + 4, k = ─1 ≠ ─ 1/3 — единственное решение.
─ 5 3x + y = 12 → y = ─3x + 12, k = ─3 ≠ ─ 1/3 — единственное решение.
─ 6 2x ─ 6y = 5 → ─6y = ─2x + 5 → y = 1/3x ─ 5/6, k = 1/3 ≠ ─ 1/3 — единственное решение.
─ 8 6y = 3 ─ 2x → y = ─ 1/3x + 0,5, k = ─ 1/3, но свободный член 0,5 ≠ 4/3 — параллельны? Нет, здесь k совпадает, значит, не единственное решение, а либо нет решений, либо бесконечно много. Проверим: ─ 1/3x + 0,5 = ─ 1/3x + 4/3 → 0,5 = 4/3 — ложно, значит, параллельны, нет решений. Так что 8 не подходит для единственного решения.
Итак, для единственного решения: 1, 2, 4, 5, 6.
► 2) Не имеет решений — прямые параллельны, но не совпадают (k одинаковы, b разные).
─ 3 y + 1/3x = 4/3 → y = ─ 1/3x + 4/3 — совпадает с l (бесконечно много решений).
─ 7 0,6x + 1,8y = 1,2 → делим на 0,6: x + 3y = 2 → y = ─ 1/3x + 2/3 → k = ─ 1/3, b = 2/3 ≠ 4/3 — параллельны, нет решений.
─ 8 6y = 3 ─ 2x → y = ─ 1/3x + 0,5 → k = ─ 1/3, b = 0,5 ≠ 4/3 — параллельны, нет решений.
Итак, нет решений: 7, 8.
► 3) Бесконечно много решений — прямые совпадают.
─ 3 y + 1/3x = 4/3 — уже видели, совпадает.
─ Проверим: x + 3y = 4 и y + 1/3x = 4/3 — умножим второе на 3: 3y + x = 4 → то же самое.
─ 7 и 8 — не совпадают.
Только 3.
✅ Ответ:
► 1) Единственное решение: уравнения 1, 2, 4, 5, 6.
► 2) Не имеет решений: уравнения 7, 8.
► 3) Бесконечно много решений: уравнение 3.
Вариант 2 (задания).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
ОТВЕТЫ на Вариант 2
№ 1. Выясните, имеет ли система уравнений решения и сколько:
► а)
{ x ─ 3y = 11,
{ y = 1/3x ─ 33.
Решение:
Подставим второе уравнение в первое:
x ─ 3(1/3x ─ 33) = 11
x ─ x + 99 = 11
99 = 11
Получили противоречие.
✅ Ответ: решений нет.
► б)
{ 4x + 3y = 8,
{ 0,3y = 0,8 ─ 0,4x.
Решение: Второе уравнение умножим на 10:
3y = 8 ─ 4x
4x + 3y = 8
Получили точно такое же уравнение, как первое.
✅ Ответ: бесконечно много решений.
► в)
{ 2x ─ 5y + 11 = 0,
{ x = 2,5y + 5,5.
Решение:
Второе уравнение: x = 2,5y + 5,5 или x = 5/2y + 11/2.
Подставим в первое:
2(5/2y + 11/2) ─ 5y + 11 = 0
5y + 11 ─ 5y + 11 = 0
22 = 0
Противоречие.
✅ Ответ: решений нет.
№ 2. Прямая m задана уравнением 2x ─ y = 6. Среди уравнений прямых:
1) x ─ 2y = 6
2) 1/2x ─ 1/4y = 3
3) 1/6y = 1/3x ─ 2
4) 3x + 1,5y = 9
5) 2y = 3 ─ x
6) x ─ 0,5y = 0
7) 4x + 2y = 3
8) 0,5y = x ─ 3
Найдите те, которые вместе с уравнением прямой m образуют систему:
► 1) имеющую единственное решение;
► 2) не имеющую решений;
► 3) имеющую бесконечно много решений.
Решение:
Уравнение m: 2x ─ y = 6 или y = 2x ─ 6.
Коэффициенты: A = 2, B = ─1, C = ─6.
1) Единственное решение — прямые пересекаются (коэффициенты A, B не пропорциональны).
2) Нет решений — прямые параллельны, но не совпадают: A, B пропорциональны, но C не пропорционален.
3) Бесконечно много решений — прямые совпадают: A, B, C пропорциональны.
Проверим каждое:
► 1) x ─ 2y = 6: A = 1, B = ─2.
2/1 ≠ (─1)/(─2) (2 ≠ 0,5) — пересекаются.
→ единственное решение.
► 2) (1/2) x ─ (1/4) y = 3
Умножим на 4: 2x ─ y = 12.
Коэффициенты A, B те же, что у m, но C разный (12 ≠ ─6).
→ нет решений.
► 3) (1/6) y = (1/3) x ─ 2
Умножим на 6: y = 2x ─ 12.
Или 2x ─ y = 12 — то же самое, что в 2.
→ нет решений.
► 4) 3x + 1,5y = 9
Умножим на 2: 6x + 3y = 18.
Сравним с 2x ─ y = 6:
2/6 ≠ (─1)/3 (1/3 ≠ ─1/3) — пересекаются.
→ единственное решение.
► 5) 2y = 3 ─ x → x + 2y = 3.
2/1 ≠ (─1)/2 — пересекаются.
→ единственное решение.
► 6) x ─ 0,5y = 0 → 2x ─ y = 0 (умножили на 2).
Коэффициенты A, B те же, C = 0 ≠ ─6.
→ нет решений.
► 7) 4x + 2y = 3
2/4 = (1/2), (─1)/2 = ─0,5 — не пропорциональны (1/2 ≠ ─1/2).
На самом деле: A = 4, B = 2, A_m = 2, B_m = ─1:
2/4 = 0,5, (─1)/2 = ─0,5 — не равны, значит пересекаются.
→ единственное решение.
► 8) 0,5y = x ─ 3 → y = 2x ─ 6 (умножили на 2).
Это в точности m.
→ бесконечно много решений.
✅ Ответ:
1) Единственное решение: 1, 4, 5, 7.
2) Нет решений: 2, 3, 6.
3) Бесконечно много решений: 8.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по алгебре 8 класс с ответами для УМК Макарычев (с 2023 года). Код материалов: Алгебра 8 Самостоятельная 29.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)