Самостоятельная работа С–4 по алгебре в 8 классе с ответами по теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей» для УМК Макарычев (с 2023 года). Код материалов: Алгебра 8 Самостоятельная 4.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 8 класс (Макарычев)
Самостоятельная работа № 4.
Вариант 1.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
№ 1. Сократите дробь:
а) 3аb/(12ас); б) –4ах/(6bx2); в) (a+2)2/(3a+6); г) (a2–1)/(a2–2а+1).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
а) 3ab/12ac
Выносим общий множитель в числителе и знаменателе: 3a.
Получаем: 3a • b/3a • 4c = b/4c
б) ─4ax/(6bx^2)
Сокращаем числитель и знаменатель на 2x.
Получаем: ─2a • 2x/3b • 2x • x = ─2a/3bx
в) ((a+2)^2)/(3a+6)
В знаменателе выносим общий множитель 3: 3(a+2).
Получаем: ((a+2)^2)/(3(a+2)) = (a+2)/3
г) (a^2 ─ 1)/(a^2 ─ 2a + 1)
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: a^2 ─ 1 = (a─1)(a+1)
Знаменатель: a^2 ─ 2a + 1 = (a─1)^2
Получаем: (a─1)(a+1)/((a─1)^2) = (a+1)/(a─1)
№ 2. Найдите значение выражения: а) 327/912; б) 12511/2517.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
а) (3^27)/(9^12)
Представим основание 9 как степень числа 3: 9 = 3^2 , значит 9^12 = (3^2)^12 = 3^24.
Подставляем: (3^27)/(3^24) = 3^{27─24} = 3^3 = 27
б) (125^11)/(25^17)
Представим основания как степени числа 5:
125 = 5^3 , значит 125^11 = (5^3)^11 = 5^33
25 = 5^2 , значит 25^17 = (5^2)^17 = 5^34
Подставляем: (5^33)/(5^34) = 5^{33─34} = 5^{─1} = 1/5 = 0.2
№ 3. Найдите значение дроби (3x2 – 12ху)/(xy – 4y2) при х = 6, у = –10.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 3. Найдите значение дроби (3x^2 ─ 12xy)/(xy ─ 4y^2) при х = 6, у = –10Сначала упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители.
1. Числитель: 3x^2 ─ 12xy = 3x(x ─ 4y)
2. Знаменатель: xy ─ 4y^2 = y(x ─ 4y)
Подставляем в дробь:
(3x(x ─ 4y))/(y(x ─ 4y))
Сокращаем на общий множитель (x ─ 4y) :
3x/y
Теперь подставляем числовые значения x = 6 , y = ─10 :
3 • 6/(─10) = 18/(─10) = ─1.8
Ответ: ─1,8
№ 4. Представьте выражение 5х – у в виде дроби со знаменателем, равным: а) х; б) 7; в) 2у; г) 5х + у.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Чтобы представить выражение в виде дроби, нужно умножить его на дробь, равную единице (знаменатель/знаменатель).а) x
5x ─ y = ((5x ─ y) • x)/x = (5x^2 ─ xy)/x
б) 7
5x ─ y = ((5x ─ y) • 7)/7 = (35x ─ 7y)/7
в) 2y
5x ─ y = ((5x ─ y) • 2y)/2y = (10xy ─ 2y^2)/2y
г) 5x + y
5x ─ y = (5x ─ y) • (5x + y)/(5x + y)
В числителе применяем формулу разности квадратов:
((5x)^2 ─ (y)^2)/(5x + y) = (25x^2 ─ y^2)/(5x + y)
Вариант 2.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
№ 1. Сократите дробь:
а) 5kx/(15ky); б) 8x2y/(12xy2); в) (x–3)2/(6x–18); г) (x2–4)/(x2+4x+4).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
а) 5kx/15ky
Выносим общий множитель в числителе и знаменателе:
5kx/15ky = 5k • x/5k • 3y = x/3y
б) (8x^2 • y)/(12xy^2)
Сокращаем числовые коэффициенты и одинаковые переменные:
(8x^2 • y)/(12xy^2) = 2 • 4 • x • x • y/3 • 4 • x • y • y = 2x/3y
в) ((x–3)^2)/6x–18
Преобразуем знаменатель, вынося общий множитель:
((x─3)^2)/(6(x─3)) = (x─3) • (x─3)/(6 • (x─3)) = (x─3)/6
г) (x^2–4)/(x^2+4x+4)
Разложим числитель и знаменатель на множители по формулам сокращённого умножения:
(x─2)(x+2)/((x+2)^2) = (x─2)/(x+2)
№ 2. Найдите значение выражения: а) 419/235; б) 8110/2714.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
а) (4^19)/(2^35)
Представим 4 как степень числа 2:
(4^19)/(2^35) = ((2^2)^19)/(2^35) = (2^38)/(2^35) = 2^{38─35} = 2^3 = 8.
б) (81^10)/(27^14)
Представим 81 и 27 как степени числа 3:
(81^10)/(27^14) = ((3^4)^10)/((3^3)^14) = (3^40)/(3^42) = 3^{40─42} = 3^{─2} = 1/(3^2) = 1/9.
№ 3. Найдите значение дроби (20a2 + 8ab) / (5ab + 2b2) при а = –3, b = 0,2.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Шаг 1: Упростим дробь. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе.
Числитель: 20a^2 + 8ab = 4a(5a + 2b)
Знаменатель: 5ab + 2b^2 = b(5a + 2b)
Теперь дробь принимает вид: (4a(5a + 2b)) / (b(5a + 2b))
Заметим, что выражение 5a + 2b присутствует и в числителе, и в знаменателе. При условии, что 5a + 2b ≠ 0 , можно сократить: 4a/b.
Шаг 2: Подставим значения a = –3 , b = 0,2 :
4a/b = (4 • (–3))/0,2 = (–12)/0,2 = –60
Проверим, что 5a + 2b ≠ 0 :
5a + 2b = 5 • (–3) + 2 • 0,2 = –15 + 0,4 = –14,6 ≠ 0
Условие выполняется, поэтому сокращение допустимо.
Ответ: ─60.
№ 4. Представьте выражение 3х + у в виде дроби со знаменателем, равным: а) у; б) 6; в) 4х; г) 3х – у.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Идея: чтобы представить выражение как дробь с заданным знаменателем, нужно умножить и разделить его на этот знаменатель.а) у
3x + y = ((3x + y) • y)/y = (3xy + y^2)/y
б) 6
3x + y = ((3x + y) • 6)/6 = (18x + 6y)/6
в) 4х
3x + y = ((3x + y) • 4x)/4x = (12x^2 + 4xy)/4x
г) 3х – у
3x + y = (3x + y) • (3x ─ y)/(3x ─ y) = ((3x)^2 ─ (y)^2)/(3x ─ y) = (9x^2 ─ y^2)/(3x ─ y)
Вы смотрели: Самостоятельная работа по алгебре 8 класс с ответами для УМК Макарычев (с 2023 года). Код материалов: Алгебра 8 Самостоятельная 4.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Во втором варианте в задании 3 знаменатель дроби должен быть такой 5ab+2b^2, т.е. не хватает коэффициента 2 перед b^2. Иначе не получится сократить дробь. И b=0,2, а не у .
Исправлено. Спасибо, что сообщили.