Самостоятельная работа С–43 по алгебре 8 класс с ответами и решениями «Свойства функции у = k/x и у = √x» для УМК Макарычев (с 2023 года). Код материалов: Алгебра 8 Самостоятельная 43.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 8 класс (Макарычев)
Самостоятельная № 43
Проверяемая тема: «Свойства функции у = k/x и у = √x».
С-43. Вариант 1.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
ОТВЕТЫ на Вариант 1
№ 1. Постройте график функции y = ─ 5/x и перечислите её свойства.
Решение:
Функция y = ─ 5/x — обратная пропорциональность вида y = k/x с k = ─5.
График — гипербола, расположенная во II и IV координатных четвертях.
Свойства:
1. Область определения: x ∈ R, x ≠ 0.
2. Множество значений: y ∈ R, y ≠ 0.
3. Функция нечётная: f(─x) = ─ 5/(─x) = 5/x = ─f(x), график симметричен относительно начала координат.
4. Промежутки монотонности: убывает на промежутках (─∞; 0) и (0; + ∞) (но не на всей области определения, так как разрыв в нуле).
5. Не имеет нулей.
6. Асимптоты: вертикальная x = 0, горизонтальная y = 0.
7. При x > 0 значения y < 0; при x < 0 значения y > 0.
✅ Ответ: свойства перечислены выше, график — гипербола во II и IV четвертях.
№ 2. Найдите область определения и множество значений функции, заданной формулой:
► а) f(x) = 15 ─ 3x
Решение: Это линейная функция.
Область определения: D(f) = R(все действительные числа).
Множество значений: E(f) = R(так как коэффициент при x не равен нулю, функция принимает все действительные значения).
✅ Ответ: D(f) = R, E(f) = R.
► б) g(x) = 20/x
Решение: Обратная пропорциональность.
Область определения: x ≠ 0, т.е. D(g) = (─∞; 0) ∪ (0; + ∞).
Множество значений: y ≠ 0, т.е. E(g) = (─∞; 0) ∪ (0; + ∞).
✅ Ответ: D(g) = (─∞; 0) ∪ (0; + ∞), E(g) = (─∞; 0) ∪ (0; + ∞).
► в) f(x) = |x|
Решение: Модуль определён для всех x.
Область определения: D(f) = R.
Множество значений: |x| ≥ 0, значит E(f) = [0; + ∞).
✅ Ответ: D(f) = R, E(f) = [0; + ∞).
► г) f(x) = √x
Решение: Квадратный корень определён при x ≥ 0.
Область определения: D(f) = [0; + ∞).
Множество значений: √x ≥ 0, т.е. E(f) = [0; + ∞).
✅ Ответ: D(f) = [0; + ∞), E(f) = [0; + ∞).
№ 3. Найдите наименьшее значение функции f(x) = √{3x ─ 7}.
Решение. Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
3x ─ 7 ≥ 0
x ≥ 7/3.
Функция f(x) = √{3x ─ 7} определена при x ∈ [7/3; + ∞).
Квадратный корень — возрастающая функция, поэтому наименьшее значение достигается при наименьшем x из области определения, т.е. при x = 7/3.
Вычислим: f(7/3) = √{3 • 7/3 ─ 7} = √{7 ─ 7} = √0 = 0.
Проверка: при x > 7/3 значение 3x ─ 7 > 0, значит √{3x ─ 7} > 0, поэтому 0 действительно наименьшее значение.
✅ Ответ: наименьшее значение функции равно 0.
С-43. Вариант 2.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
ОТВЕТЫ на Вариант 2
№ 1. Постройте график функции y = 6/x и перечислите её свойства.
Решение:
Функция y = 6/x — обратная пропорциональность.
График — гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях (т.к. k = 6 > 0).
Свойства:
1. Область определения: x ≠ 0 или (─∞; 0) ∪ (0; + ∞).
2. Множество значений: y ≠ 0 или (─∞; 0) ∪ (0; + ∞).
3. Функция нечётная: f(─x) = ─f(x), график симметричен относительно начала координат.
4. Промежутки монотонности:
─ убывает на (─∞; 0) и на (0; + ∞).
5. Не имеет нулей.
6. Не принимает наибольшего и наименьшего значений.
7. Асимптоты:
─ вертикальная: x = 0 (ось Oy),
─ горизонтальная: y = 0 (ось Ox).
✅ Ответ: График — гипербола в I и III четвертях; свойства перечислены выше.
№ 2. Найдите область определения и множество значений функции, заданной формулой:
► a) f(x) = 37 + 2x
Решение: Это линейная функция.
Область определения: x — любое действительное число, D(f) = R.
Множество значений: линейная функция с k = 2 ≠ 0 принимает все действительные значения, E(f) = R.
✅ Ответ: D(f) = R, E(f) = R.
► б) g(x) = ─ 12/x
Решение: Обратная пропорциональность.
Область определения: x ≠ 0, D(g) = (─∞; 0) ∪ (0; + ∞).
Множество значений: y ≠ 0, E(g) = (─∞; 0) ∪ (0; + ∞).
✅ Ответ: D(g) = (─∞; 0) ∪ (0; + ∞), E(g) = (─∞; 0) ∪ (0; + ∞).
► в) h(x) = √x
Решение: Квадратный корень определён при x ≥ 0.
Область определения: D(h) = [0; + ∞).
Множество значений: √x ≥ 0, E(h) = [0; + ∞).
✅ Ответ: D(h) = [0; + ∞), E(h) = [0; + ∞).
► г) g(x) = |x|
Решение: Модуль определён при всех x.
Область определения: D(g) = R.
Множество значений: |x| ≥ 0, E(g) = [0; + ∞).
✅ Ответ: D(g) = R, E(g) = [0; + ∞).
№ 3. Найдите наименьшее значение функции f(x) = √{5x + 11}.
Решение:
1. Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
5x + 11 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─ 11/5 = ─2,2.
2. Функция f(x) = √{5x + 11} определена при x ≥ ─2,2, она возрастает на всей области определения (т.к. 5x + 11 возрастает, и квадратный корень — возрастающая функция).
3. Наименьшее значение достигается в левом конце области определения:
x = ─ 11/5, f(─ 11/5) = √{5 • (─ 11/5) + 11} = √{─11 + 11} = √0 = 0.
Проверка: при x > ─ 11/5 значение 5x + 11 > 0, значит, f(x) > 0. Значит, 0 — наименьшее значение.
✅ Ответ: Наименьшее значение функции равно 0.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по алгебре 8 класс с ответами и решениями «Свойства функции у = k/x и у = √x» для УМК Макарычев (с 2023 года). Код материалов: Алгебра 8 Самостоятельная 43.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)