Самостоятельная работа С–45 по алгебре 8 класс с ответами «Свойства степени с целым показателем» для УМК Макарычев (с 2023 года). Код материалов: Алгебра 8 Самостоятельная 45.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 8 класс (Макарычев)
Самостоятельная работа № 45
Проверяемая тема: «Свойства степени с целым показателем».
С-45. Вариант 1.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
ОТВЕТЫ на Вариант 1
№ 1. Найдите значение выражения:
а) \( 4^{-3} \cdot 4^{5} \)
Решение:
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются:
\( 4^{-3} \cdot 4^{5} = 4^{-3+5} = 4^{2} = 16 \).
✅ Ответ: 16
б) \( 5^{-7} \cdot 5^{6} \)
Решение:
\( 5^{-7} \cdot 5^{6} = 5^{-7+6} = 5^{-1} = \frac{1}{5} \).
✅ Ответ: \( \frac{1}{5} \)
в) \( 3^{15} : 3^{18} \)
Решение:
При делении степеней показатели вычитаются:
\( 3^{15} : 3^{18} = 3^{15-18} = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} \).
✅ Ответ: \( \frac{1}{27} \)
г) \( 2^{-11} : 2^{-16} \)
Решение:
\( 2^{-11} : 2^{-16} = 2^{-11 — (-16)} = 2^{-11+16} = 2^{5} = 32 \).
✅ Ответ: 32
д) \( (5^{-1})^{-3} \)
Решение:
При возведении степени в степень показатели перемножаются:
\( (5^{-1})^{-3} = 5^{(-1) \cdot (-3)} = 5^{3} = 125 \).
✅ Ответ: 125
е) \( (0,1^{-2})^{-3} \cdot 0,1^{-8} \)
Решение:
Сначала упрощаем первую часть:
\( (0,1^{-2})^{-3} = 0,1^{(-2) \cdot (-3)} = 0,1^{6} \).
Теперь умножаем:
\( 0,1^{6} \cdot 0,1^{-8} = 0,1^{6 + (-8)} = 0,1^{-2} = \frac{1}{0,1^{2}} = \frac{1}{0,01} = 100 \).
✅ Ответ: 100.
№ 2. Вычислите:
а) \( \left( \frac{1}{2} \right)^{-3} \)
Решение:
Отрицательная степень переворачивает дробь:
\( \left( \frac{1}{2} \right)^{-3} = \left( \frac{2}{1} \right)^{3} = 2^{3} = 8 \).
✅ Ответ: 8
б) \( \left( \frac{5}{7} \right)^{-1} \)
Решение:
\( \left( \frac{5}{7} \right)^{-1} = \frac{7}{5} = 1,4 \).
✅ Ответ: \( \frac{7}{5} \) или 1,4
в) \( 0,3^{-2} \)
Решение:
\( 0,3 = \frac{3}{10} \), значит:
\( \left( \frac{3}{10} \right)^{-2} = \left( \frac{10}{3} \right)^{2} = \frac{100}{9} = 11\frac{1}{9} \).
✅ Ответ: \( \frac{100}{9} \)
г) \( \left( -1 \frac{1}{2} \right)^{-4} \)
Решение:
Переводим в неправильную дробь: \( -1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2} \).
Четная степень убирает минус:
\( \left( -\frac{3}{2} \right)^{-4} = \left( -\frac{2}{3} \right)^{4} = \frac{16}{81} \).
✅ Ответ: \( \frac{16}{81} \)
д) \( (0,05^{2})^{-1} \)
Решение:
Сначала возводим в квадрат: \( 0,05^{2} = 0,0025 \).
Теперь степень -1: \( (0,0025)^{-1} = \frac{1}{0,0025} = 400 \).
Или по свойствам степеней: \( (0,05^{2})^{-1} = 0,05^{-2} = \left( \frac{1}{20} \right)^{-2} = 20^{2} = 400 \).
✅ Ответ: 400
е) \( \left( -1 \frac{1}{4} \right)^{-3} \)
Решение:
Переводим: \( -1\frac{1}{4} = -\frac{5}{4} \).
Нечетная степень сохраняет минус:
\( \left( -\frac{5}{4} \right)^{-3} = \left( -\frac{4}{5} \right)^{3} = -\frac{64}{125} \).
✅ Ответ: \( -\frac{64}{125} \)
№ 3. Упростите выражение:
а) \( 4xy^{-3} \cdot 0,25x^{-6}y^{5} \)
Решение:
Перемножаем числовые коэффициенты: \( 4 \cdot 0,25 = 1 \).
Перемножаем степени \( x \): \( x^{1} \cdot x^{-6} = x^{-5} \).
Перемножаем степени \( y \): \( y^{-3} \cdot y^{5} = y^{2} \).
Получаем: \( 1 \cdot x^{-5} \cdot y^{2} = \frac{y^{2}}{x^{5}} \).
✅ Ответ: \( \frac{y^{2}}{x^{5}} \)
б) \( \frac{2}{3} \cdot a^{-5}b^{7} \cdot 0,27ab^{-4} \)
Решение:
Переводим десятичную дробь в обыкновенную: \( 0,27 = \frac{27}{100} \).
Умножаем коэффициенты: \( \frac{2}{3} \cdot \frac{27}{100} = \frac{54}{300} = \frac{9}{50} \).
Степени \( a \): \( a^{-5} \cdot a^{1} = a^{-4} \).
Степени \( b \): \( b^{7} \cdot b^{-4} = b^{3} \).
Получаем: \( \frac{9}{50} \cdot a^{-4} b^{3} = \frac{9b^{3}}{50a^{4}} \).
✅ Ответ: \( \frac{9b^{3}}{50a^{4}} \)
№ 4. Найдите значение выражения
\( \frac{1}{4} \cdot a^{-5}b^{3} \cdot 32a^{6}b^{-2} \) при \( a = -\frac{7}{6}, b = \frac{3}{14} \).
Решение:
Сначала упростим выражение:
Коэффициенты: \( \frac{1}{4} \cdot 32 = 8 \).
Степени \( a \): \( a^{-5} \cdot a^{6} = a^{1} = a \).
Степени \( b \): \( b^{3} \cdot b^{-2} = b^{1} = b \).
Получаем: \( 8ab \).
Теперь подставляем значения:
\( 8 \cdot \left( -\frac{7}{6} \right) \cdot \frac{3}{14} = 8 \cdot \left( -\frac{7 \cdot 3}{6 \cdot 14} \right) = 8 \cdot \left( -\frac{21}{84} \right) = 8 \cdot \left( -\frac{1}{4} \right) = -2 \).
Проверка:
Подставим в исходное выражение:
\( \frac{1}{4} \cdot \left( -\frac{7}{6} \right)^{-5} \cdot \left( \frac{3}{14} \right)^{3} \cdot 32 \cdot \left( -\frac{7}{6} \right)^{6} \cdot \left( \frac{3}{14} \right)^{-2} \).
Сгруппируем степени:
\( \left( -\frac{7}{6} \right)^{-5+6} = \left( -\frac{7}{6} \right)^{1} = -\frac{7}{6} \).
\( \left( \frac{3}{14} \right)^{3-2} = \left( \frac{3}{14} \right)^{1} = \frac{3}{14} \).
\( \frac{1}{4} \cdot 32 = 8 \).
Итого: \( 8 \cdot \left( -\frac{7}{6} \right) \cdot \frac{3}{14} = -2 \).
Всё верно.
✅ Ответ: \(-2\)
С-45. Вариант 2.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
ОТВЕТЫ на Вариант 2
№ 1. Найдите значение выражения
а) \( 2^{-5} \cdot 2^{3} \)
Решение:
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются:
\( 2^{-5} \cdot 2^{3} = 2^{-5+3} = 2^{-2} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4} \).
✅ Ответ: \(\frac{1}{4}\)
б) \( 4^{-21} \cdot 4^{23} \)
Решение:
\( 4^{-21} \cdot 4^{23} = 4^{-21+23} = 4^{2} = 16 \).
✅ Ответ: \(16\)
в) \( 5^{11} : 5^{14} \)
Решение:
При делении степеней показатели вычитаются:
\( 5^{11} : 5^{14} = 5^{11-14} = 5^{-3} = \frac{1}{5^{3}} = \frac{1}{125} \).
✅ Ответ: \(\frac{1}{125}\)
г) \( 3^{-9} : 3^{-13} \)
Решение:
\( 3^{-9} : 3^{-13} = 3^{-9 — (-13)} = 3^{-9+13} = 3^{4} = 81 \).
✅ Ответ: \(81\)
д) \( (10^{-3})^{-1} \)
Решение:
При возведении степени в степень показатели перемножаются:
\( (10^{-3})^{-1} = 10^{-3 \cdot (-1)} = 10^{3} = 1000 \).
✅ Ответ: \(1000\)
е) \( (0,2^{-5})^{-3} \cdot 0,2^{-16} \)
Решение:
Сначала упростим первую часть: \( (0,2^{-5})^{-3} = 0,2^{-5 \cdot (-3)} = 0,2^{15} \).
Теперь перемножаем: \( 0,2^{15} \cdot 0,2^{-16} = 0,2^{15 + (-16)} = 0,2^{-1} = \frac{1}{0,2} = 5 \).
✅ Ответ: \(5\)
№ 2. Вычислите
► а) \( \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \)
Решение:
Отрицательная степень переворачивает дробь:
\( \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{1}\right)^{2} = 3^{2} = 9 \).
✅ Ответ: \(9\)
► б) \( \left(\frac{7}{8}\right)^{-1} \)
Решение:
\( \left(\frac{7}{8}\right)^{-1} = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7} \).
✅ Ответ: \(\frac{8}{7}\) или \(1\frac{1}{7}\)
► в) \( 0,2^{-3} \)
Решение:
\( 0,2 = \frac{1}{5} \), значит \( \left(\frac{1}{5}\right)^{-3} = 5^{3} = 125 \).
✅ Ответ: \(125\)
► г) \( \left(-1\frac{1}{3}\right)^{-3} \)
Решение:
Переведем в неправильную дробь: \( -1\frac{1}{3} = -\frac{4}{3} \).
\( \left(-\frac{4}{3}\right)^{-3} = \left(-\frac{3}{4}\right)^{3} = -\frac{27}{64} \).
✅ Ответ: \(-\frac{27}{64}\)
► д) (0,25²)⁻¹
Решение: 1. Вспоминаем правило возведения степени в степень: при возведении степени в степень показатели перемножаются.
\((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
2. Применяем это правило к нашему выражению:
\((0,25^2)^{-1} = 0,25^{2 \cdot (-1)} = 0,25^{-2}\)
3. Теперь работаем с отрицательной степенью. Вспоминаем: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\).
\(0,25^{-2} = \frac{1}{0,25^2}\)
4. Считаем \(0,25^2\) (или \(\frac{1}{4}^2\)):
\(0,25^2 = 0,0625\) (или \(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}\)).
5. Находим значение:
\(\frac{1}{0,0625} = 16\) (так как \(1 : \frac{1}{16} = 16\)).
✅ Ответ: 16
Проверка (обратным ходом):
Если мы возведем 16 в степень -1, то получим \(\frac{1}{16} = 0,0625\).
Если \(0,25^2 = 0,0625\), то \((0,25^2)^{-1} = 0,0625^{-1} = 16\). Всё верно.
► е) (0,2⁻⁵)⁻³ • 0,2⁻¹⁶
Решение: 1. Начинаем с первой скобки. Используем правило возведения степени в степень:
\((0,2^{-5})^{-3} = 0,2^{(-5) \cdot (-3)} = 0,2^{15}\)
(Минус на минус даёт плюс).
2. Теперь у нас есть произведение двух степеней с одинаковым основанием (0,2):
\(0,2^{15} \cdot 0,2^{-16}\)
3. Вспоминаем правило умножения степеней с одинаковым основанием: основание оставляем, показатели складываем.
\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
4. Складываем показатели:
\(0,2^{15 + (-16)} = 0,2^{-1}\)
5. Избавляемся от отрицательной степени:
\(0,2^{-1} = \frac{1}{0,2}\)
6. Считаем:
\( \frac{1}{0,2} = \frac{1}{\frac{1}{5}} = 5\) (или \(1 : 0,2 = 10 : 2 = 5\)).
✅ Ответ: 5.
Проверка (пошаговая): Посчитаем по-другому, чтобы убедиться.
\(0,2 = \frac{1}{5}\).
Тогда \(0,2^{-5} = (\frac{1}{5})^{-5} = 5^5\).
\((5^5)^{-3} = 5^{-15}\).
Далее \(0,2^{-16} = (\frac{1}{5})^{-16} = 5^{16}\).
Перемножаем: \(5^{-15} \cdot 5^{16} = 5^{1} = 5\). Всё верно.
№ 3. Упростите выражение
а) \( 5ab^{-5} \cdot 0,4a^{-3}b^{8} \)
Решение:
Перемножим числовые коэффициенты: \( 5 \cdot 0,4 = 2 \).
Переменные: \( a^{1} \cdot a^{-3} = a^{-2} \), \( b^{-5} \cdot b^{8} = b^{3} \).
Получаем: \( 2 a^{-2} b^{3} = \frac{2b^{3}}{a^{2}} \).
✅ Ответ: \(\frac{2b^{3}}{a^{2}}\)
б) \( \frac{3}{4} x^{-4} y^{9} \cdot 0,16 x y^{-7} \)
Решение:
\( \frac{3}{4} = 0,75 \). Умножаем: \( 0,75 \cdot 0,16 = 0,12 = \frac{3}{25} \).
\( x^{-4} \cdot x^{1} = x^{-3} \), \( y^{9} \cdot y^{-7} = y^{2} \).
Итог: \( \frac{3}{25} x^{-3} y^{2} = \frac{3y^{2}}{25x^{3}} \).
✅ Ответ: \(\frac{3y^{2}}{25x^{3}}\)
в) \( (0,3 p^{6} q^{-1})^{-2} \)
Решение:
\( 0,3 = \frac{3}{10} \). Возводим в степень \(-2\):
\( \left(\frac{3}{10}\right)^{-2} = \left(\frac{10}{3}\right)^{2} = \frac{100}{9} \).
\( (p^{6})^{-2} = p^{-12} \), \( (q^{-1})^{-2} = q^{2} \).
Итог: \( \frac{100}{9} p^{-12} q^{2} = \frac{100q^{2}}{9p^{12}} \).
✅ Ответ: \(\frac{100q^{2}}{9p^{12}}\)
г) \( \left(\frac{6}{7} m n^{-4}\right)^{-1} \)
Решение:
Переворачиваем дробь и меняем знак степени:
\( \left(\frac{6}{7} m n^{-4}\right)^{-1} = \frac{7}{6} m^{-1} n^{4} = \frac{7n^{4}}{6m} \).
✅ Ответ: \(\frac{7n^{4}}{6m}\)
№ 4. Найдите значение выражения
\( 21x^{7}y^{-6} \cdot \frac{1}{9} \cdot x^{-6}y^{7} \) при \( x = \frac{2}{15}, y = -\frac{5}{8} \)
Решение:
Сначала упростим выражение:
\( 21 \cdot \frac{1}{9} = \frac{21}{9} = \frac{7}{3} \).
\( x^{7} \cdot x^{-6} = x^{1} \), \( y^{-6} \cdot y^{7} = y^{1} \).
Получаем: \( \frac{7}{3} x y \).
Подставляем значения:
\( \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{15} \cdot \left(-\frac{5}{8}\right) = \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{15} \cdot \left(-\frac{5}{8}\right) \).
Сокращаем:
\( \frac{7 \cdot 2 \cdot (-5)}{3 \cdot 15 \cdot 8} = \frac{7 \cdot 2 \cdot (-5)}{3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 8} \) — сокращаем 5 и 2 с 8 (останется 4):
\( = \frac{7 \cdot (-1)}{3 \cdot 3 \cdot 4} = -\frac{7}{36} \).
Проверка:
Если подставить числа в исходное выражение, результат должен быть таким же.
\( x = \frac{2}{15}, y = -\frac{5}{8} \).
\( x^{7} y^{-6} \cdot x^{-6} y^{7} = x y = \frac{2}{15} \cdot \left(-\frac{5}{8}\right) = -\frac{10}{120} = -\frac{1}{12} \).
Умножаем на \( 21 \cdot \frac{1}{9} = \frac{7}{3} \): \( \frac{7}{3} \cdot \left(-\frac{1}{12}\right) = -\frac{7}{36} \). Верно.
✅ Ответ: \(-\frac{7}{36}\)
Вы смотрели: Самостоятельная работа С–45 по алгебре 8 класс с ответами «Свойства степени с целым показателем» для УМК Макарычев (с 2023 года). Код материалов: Алгебра 8 Самостоятельная 45.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)