Самостоятельная работа С–48 по алгебре 8 класс с ответами «Повторение курса алгебры 8 класса» для УМК Макарычев (с 2023 года). Код материалов: Алгебра 8 Самостоятельная 48.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 8 класс (Макарычев)
Самостоятельная работа № 48
Проверяемая тема: «Повторение курса алгебры 8 класса».
С-48. Вариант 1.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
ОТВЕТЫ на Вариант 1
№ 1. Сократите дробь (а² – 6а + 9) / (6 – 2а).
Решение:
1. Разложим числитель на множители. Это квадрат разности:
\( a^2 — 6a + 9 = (a — 3)^2 \).
2. В знаменателе вынесем общий множитель за скобки:
\( 6 — 2a = 2(3 — a) \).
3. Заметим, что \( (a — 3) \) и \( (3 — a) \) отличаются знаком. Вынесем минус:
\( 2(3 — a) = -2(a — 3) \).
4. Получаем дробь:
\[
\frac{(a — 3)^2}{-2(a — 3)} = \frac{a — 3}{-2} = -\frac{a — 3}{2}.
\]
✅ Ответ: \( -\frac{a — 3}{2} \) или \( \frac{3 — a}{2} \).
№ 2. Решите уравнение 3х² – х – 4 = 0.
Решение:
1. Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
\( D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 \).
2. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:
\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 7}{6}.
\]
3. Вычисляем:
\( x_1 = \frac{1 + 7}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \),
\( x_2 = \frac{1 — 7}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \).
Проверка:
— Для \( x = \frac{4}{3} \): \( 3 \cdot \frac{16}{9} — \frac{4}{3} — 4 = \frac{16}{3} — \frac{4}{3} — \frac{12}{3} = 0 \). Верно.
— Для \( x = -1 \): \( 3 \cdot 1 — (-1) — 4 = 3 + 1 — 4 = 0 \). Верно.
✅ Ответ: \( x_1 = \frac{4}{3}, x_2 = -1 \).
№ 3. Вычислите: √80 / √{3,2}.
Решение:
1. Запишем корень из частного как частное корней (свойство корня):
\( \frac{\sqrt{80}}{\sqrt{3,2}} = \sqrt{\frac{80}{3,2}} \).
2. Вычислим дробь под корнем. Переведем 3,2 в обыкновенную дробь: \( 3,2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5} \).
\[
\frac{80}{3,2} = \frac{80}{\frac{16}{5}} = 80 \cdot \frac{5}{16} = \frac{400}{16} = 25.
\]
3. Извлекаем корень: \( \sqrt{25} = 5 \).
✅ Ответ: 5.
№ 4. Решите систему неравенств:
\[
\begin{cases}
6x + 4 > 2(5 — 4x), \\
3x — 5 \leq 5x + 5.
\end{cases}
\]
Решение:
1. Решаем первое неравенство:
\( 6x + 4 > 10 — 8x \)
Переносим слагаемые: \( 6x + 8x > 10 — 4 \)
\( 14x > 6 \)
\( x > \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \).
2. Решаем второе неравенство:
\( 3x — 5 \leq 5x + 5 \)
Переносим: \( 3x — 5x \leq 5 + 5 \)
\( -2x \leq 10 \)
Делим на отрицательное число, знак меняется: \( x \geq -5 \).
3. Находим пересечение решений:
\( x > \frac{3}{7} \) и \( x \geq -5 \) → общее решение: \( x > \frac{3}{7} \).
✅ Ответ: \( x \in \left( \frac{3}{7}; +\infty \right) \).
№ 5. Найдите корни уравнения:
\[
\frac{x^2 + 7x}{x + 2} — \frac{7x + 4}{x + 2} = 0.
\]
Решение:
1. У дробей одинаковый знаменатель, объединяем их:
\[
\frac{x^2 + 7x — (7x + 4)}{x + 2} = 0.
\]
2. Раскрываем скобки в числителе:
\( x^2 + 7x — 7x — 4 = x^2 — 4 \).
Получаем: \( \frac{x^2 — 4}{x + 2} = 0 \).
3. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
\( x^2 — 4 = 0 \) и \( x + 2 \neq 0 \).
4. Решаем \( x^2 — 4 = 0 \): \( x = \pm 2 \).
5. Исключаем \( x = -2 \), так как при этом знаменатель обращается в ноль (деление на ноль запрещено).
Остается \( x = 2 \).
Проверка:
Подставим \( x = 2 \) в исходное уравнение:
\( \frac{4 + 14}{4} — \frac{14 + 4}{4} = \frac{18}{4} — \frac{18}{4} = 0 \). Верно.
✅ Ответ: \( x = 2 \).
№ 6. Заказ на изготовление 130 деталей первый рабочий выполняет на 3 ч быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 3 детали больше?
Решение:
1. Пусть второй рабочий изготавливает \( x \) деталей в час.
Тогда первый изготавливает \( x + 3 \) детали в час.
2. Время выполнения заказа:
— Первый: \( \frac{130}{x+3} \) часов.
— Второй: \( \frac{130}{x} \) часов.
3. По условию, первый работает на 3 часа быстрее:
\[
\frac{130}{x} — \frac{130}{x+3} = 3.
\]
4. Решаем уравнение. Приводим к общему знаменателю \( x(x+3) \):
\[
\frac{130(x+3) — 130x}{x(x+3)} = 3,
\]
\[
\frac{130x + 390 — 130x}{x(x+3)} = 3,
\]
\[
\frac{390}{x(x+3)} = 3.
\]
5. Умножаем обе части на \( x(x+3) \) (при \( x \neq 0, x \neq -3 \)):
\( 390 = 3x(x+3) \).
Делим на 3: \( 130 = x^2 + 3x \).
Переносим: \( x^2 + 3x — 130 = 0 \).
6. Решаем квадратное уравнение:
\( D = 9 + 520 = 529 = 23^2 \).
\( x = \frac{-3 \pm 23}{2} \).
Получаем: \( x_1 = \frac{20}{2} = 10 \), \( x_2 = \frac{-26}{2} = -13 \) (не подходит, так как производительность не может быть отрицательной).
7. Значит, второй рабочий делает 10 деталей в час.
Проверка:
— Второй: 130 / 10 = 13 часов.
— Первый: 10 + 3 = 13 деталей в час, 130 / 13 = 10 часов.
— Разница: 13 — 10 = 3 часа. Условие выполнено.
✅ Ответ: 10 деталей в час.
С-48. Вариант 2.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
ОТВЕТЫ на Вариант 2
№ 1. Сократите дробь (b² – 10b + 25) / (10 – 2b).
Решение:
1. Разложим числитель на множители. Это квадрат разности: \( b^2 — 10b + 25 = (b — 5)^2 \).
2. В знаменателе вынесем общий множитель 2: \( 10 — 2b = 2(5 — b) \).
3. Заметим, что \( (b — 5) = -(5 — b) \). Значит, \( (b — 5)^2 = (5 — b)^2 \).
4. Подставляем: \( \frac{(5 — b)^2}{2(5 — b)} \).
5. Сокращаем на \( (5 — b) \) (при условии, что \( b \neq 5 \), чтобы не было деления на ноль).
6. Получаем: \( \frac{5 — b}{2} \).
✅ Ответ: \( \frac{5 — b}{2} \).
№ 2. Решите уравнение 5x² + x – 4 = 0.
Решение:
1. Это квадратное уравнение. Выпишем коэффициенты: \( a = 5, b = 1, c = -4 \).
2. Находим дискриминант: \( D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81 \).
3. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.
4. Находим корни по формуле: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
— \( x_1 = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} = 0,8 \).
— \( x_2 = \frac{-1 — 9}{10} = \frac{-10}{10} = -1 \).
Проверка:
— Для \( x = 0,8 \): \( 5 \cdot 0,64 + 0,8 — 4 = 3,2 + 0,8 — 4 = 0 \). Верно.
— Для \( x = -1 \): \( 5 \cdot 1 — 1 — 4 = 5 — 1 — 4 = 0 \). Верно.
✅ Ответ: \( x_1 = 0,8; x_2 = -1 \).
№ 3. Вычислите: √{4 4/5} • √{7,5}.
Решение:
1. Переведем смешанное число в неправильную дробь: \( 4\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{24}{5} \).
2. Запишем 7,5 как обыкновенную дробь: \( 7,5 = \frac{15}{2} \).
3. Используем свойство корней: \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \).
\( \sqrt{\frac{24}{5}} \cdot \sqrt{\frac{15}{2}} = \sqrt{\frac{24}{5} \cdot \frac{15}{2}} \).
4. Перемножаем дроби под корнем: \( \frac{24 \cdot 15}{5 \cdot 2} = \frac{360}{10} = 36 \).
5. \( \sqrt{36} = 6 \).
✅ Ответ: 6.
№ 4. Решите систему неравенств:
\[
\begin{cases}
5x — 18 \leq 3(x + 2), \\
4x — 8 > 3x — 12.
\end{cases}
\]
Решение:
1. Решаем первое неравенство:
— Раскрываем скобки: \( 5x — 18 \leq 3x + 6 \).
— Переносим слагаемые: \( 5x — 3x \leq 6 + 18 \).
— Приводим подобные: \( 2x \leq 24 \).
— Делим на 2: \( x \leq 12 \).
2. Решаем второе неравенство:
— Переносим: \( 4x — 3x > -12 + 8 \).
— Приводим подобные: \( x > -4 \).
3. Изображаем решения на числовой прямой (или находим пересечение):
— Первое: \( x \leq 12 \) (все числа от минус бесконечности до 12 включительно).
— Второе: \( x > -4 \) (все числа от -4 не включительно до плюс бесконечности).
— Пересечение: \( -4 < x \leq 12 \).
✅ Ответ: \( x \in (-4; 12] \).
№ 5. Найдите корни уравнения
\[
\frac{x^2 — 9x}{x — 5} — \frac{25 — 9x}{x — 5} = 0.
\]
Решение:
1. Так как знаменатели одинаковые (\( x \neq 5 \)), объединяем дроби:
\[
\frac{x^2 — 9x — (25 — 9x)}{x — 5} = 0.
\]
2. Раскрываем скобки в числителе: \( x^2 — 9x — 25 + 9x = x^2 — 25 \).
3. Получаем уравнение: \( \frac{x^2 — 25}{x — 5} = 0 \).
4. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
— Числитель: \( x^2 — 25 = 0 \Rightarrow (x — 5)(x + 5) = 0 \).
— Корни: \( x = 5 \) или \( x = -5 \).
5. Проверяем условие \( x \neq 5 \) (знаменатель не может быть нулем). Значит, \( x = 5 \) — посторонний корень.
Проверка:
— Для \( x = -5 \): \( \frac{25 + 45}{-10} — \frac{25 + 45}{-10} = 0 \). Верно.
✅ Ответ: \( x = -5 \).
№ 6. Заказ на изготовление 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 ч быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 1 деталь больше?
Решение:
1. Пусть второй рабочий изготавливает \( x \) деталей в час.
2. Тогда первый рабочий изготавливает \( x + 1 \) деталь в час.
3. Время первого: \( \frac{110}{x+1} \) часов.
4. Время второго: \( \frac{110}{x} \) часов.
5. По условию, первый работает на 1 час быстрее (т.е. его время меньше):
\[
\frac{110}{x} — \frac{110}{x+1} = 1.
\]
6. Решаем уравнение. Приводим к общему знаменателю \( x(x+1) \):
\[
\frac{110(x+1) — 110x}{x(x+1)} = 1 \Rightarrow \frac{110}{x(x+1)} = 1.
\]
7. Отсюда: \( 110 = x(x+1) \).
8. Раскрываем скобки: \( x^2 + x — 110 = 0 \).
9. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = 1 + 440 = 441 \), \( \sqrt{D} = 21 \).
— \( x_1 = \frac{-1 + 21}{2} = 10 \).
— \( x_2 = \frac{-1 — 21}{2} = -11 \) (не подходит, так как количество деталей не может быть отрицательным).
Проверка:
— Второй делает 10 дет/ч, его время: \( 110 / 10 = 11 \) часов.
— Первый делает 11 дет/ч, его время: \( 110 / 11 = 10 \) часов.
— Разница: \( 11 — 10 = 1 \) час. Условие выполняется.
✅ Ответ: 10 деталей в час.
Вы смотрели: Самостоятельная работа С–48 по алгебре 8 класс с ответами «Повторение курса алгебры 8 класса» для УМК Макарычев (с 2023 года). Код материалов: Алгебра 8 Самостоятельная 48.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)