Алгебра 8 Самостоятельная 6

Самостоятельная работа С–6 по алгебре 8 класс с ответами «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями» для УМК Макарычев (с 2023 года). Код материалов: Алгебра 8 Самостоятельная 6.

Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Алгебра 8 класс (Макарычев)
Самостоятельная работа № 6

С-6. Вариант 1.

Проверяемая тема: «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

1. Преобразуйте в дробь выражение:
   а) (4x–1)/18x + (x+5)/12x; б) (5a–b)/9b – (a–3b)/15b.
2. Представьте в виде дроби:
   а) (x–y)/y + y/(x+y); б) b/(b–3) – b/(b+3).
3. Упростите выражение (a–1)/(a²+2) – (a–2)/(a²–1) и найдите его значение при а = –2.

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Преобразуйте в дробь выражение:
а) (4x–1)/18x + (x + 5) / 12x
1. Найдем общий знаменатель. Знаменатели 18x и 12x. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — 36x.
2. Приведем дроби к общему знаменателю:
Первая дробь: (4x – 1)/18x = (2(4x – 1)) / (218x) = (8x – 2) / 36x
Вторая дробь: (x + 5)/12x = (3(x + 5)) / (312x) = (3x + 15) / 36x
3. Сложим дроби:
(8x – 2 + 3x + 15) / 36x = (11x + 13) / 36x
Ответ: (11x + 13) / 36x.
—
б) (5a–b)/9b – (a–3b) / 15b
1. Найдем общий знаменатель. Знаменатели 9b и 15b. НОЗ — 45b.
2. Приведем дроби к общему знаменателю:
Первая дробь: (5a – b)/9b = (5(5a – b)) / (59b) = (25a – 5b) / 45b
Вторая дробь: (a – 3b)/15b = (3(a – 3b)) / (315b) = (3a – 9b) / 45b
3. Вычтем дроби:
(25a – 5b – (3a – 9b)) / 45b = (25a – 5b – 3a + 9b) / 45b = (22a + 4b) / 45b
4. Вынесем общий множитель 2 в числителе:
(2(11a + 2b)) / 45b
Ответ: 2(11a + 2b) / 45b.

№ 2. Представьте в виде дроби:
а) (x–y)/y + y/(x + y)
1. Найдем общий знаменатель. Знаменатели y и (x + y). НОЗ — y(x + y).
2. Приведем дроби к общему знаменателю:
Первая дробь: (x – y)/y = ((x – y)(x + y)) / (y(x + y)) = (x² – y²) / (y(x + y))
Вторая дробь: y / (x + y) = (y y) / (y(x + y)) = y² / (y(x + y))
3. Сложим дроби:
(x² – y² + y²) / (y(x + y)) = x² / (y(x + y))
Ответ: x² / (y(x + y)).
—
б) b/(b–3) – b/(b + 3)
1. Найдем общий знаменатель. Знаменатели (b – 3) и (b + 3). НОЗ — (b – 3)(b + 3).
2. Приведем дроби к общему знаменателю:
Первая дробь: b / (b – 3) = (b(b + 3)) / ((b – 3)(b + 3))
Вторая дробь: b / (b + 3) = (b(b – 3)) / ((b – 3)(b + 3))
3. Вычтем дроби:
(b(b + 3) – b(b – 3)) / ((b – 3)(b + 3)) = (b² + 3b – b² + 3b) / ((b – 3)(b + 3)) = 6b / ((b – 3)(b + 3))
Ответ: 6b/((b – 3)(b + 3)).

№ 3. Упростите выражение (a–1) / (a² + 2) – (a–2) / (a²–1) и найдите его значение при а = –2.
1. Разложим знаменатель второй дроби на множители: a² – 1 = (a – 1)(a + 1).
Теперь выражение имеет вид: (a – 1) / (a² + 2) – (a – 2) / ((a – 1)(a + 1))
2. Найдем общий знаменатель. Знаменатели (a² + 2) и (a – 1)(a + 1). Эти выражения не имеют общих множителей, поэтому НОЗ — (a² + 2)(a – 1)(a + 1).
3. Приведем дроби к общему знаменателю:
Первая дробь: (a – 1) / (a² + 2) = ((a – 1)(a – 1)(a + 1)) / ((a² + 2)(a – 1)(a + 1)) = ((a – 1)²(a + 1)) / ((a² + 2)(a – 1)(a + 1))
Вторая дробь: (a – 2) / ((a – 1)(a + 1)) = ((a – 2)(a² + 2)) / ((a² + 2)(a – 1)(a + 1))
4. Вычтем дроби:
[ (a – 1)²(a + 1) – (a – 2)(a² + 2) ] / [ (a² + 2)(a – 1)(a + 1) ]
5. Упростим числитель:
(a – 1)²(a + 1) = (a² – 2a + 1)(a + 1) = a³ + a² – 2a² – 2a + a + 1 = a³ – a² – a + 1
(a – 2)(a² + 2) = a³ + 2a – 2a² – 4 = a³ – 2a² + 2a – 4
Теперь вычтем: (a³ – a² – a + 1) – (a³ – 2a² + 2a – 4) = a³ – a² – a + 1 – a³ + 2a² – 2a + 4 = (a²) + ( – 3a) + 5
Числитель после вычитания: a² – 3a + 5
6. Запишем упрощенное выражение:
(a² – 3a + 5) / ((a² + 2)(a – 1)(a + 1))
7. Найдем значение при a = –2:
Подставим a = –2 в упрощенное выражение:
Числитель: (–2)² – 3(–2) + 5 = 4 + 6 + 5 = 15
Знаменатель: ((–2)² + 2) (–2 – 1) (–2 + 1) = (4 + 2) (–3) (–1) = 6 • 3 = 18
Значение дроби: 15/18 = 5/6.

ОТВЕТ:
Упрощенное выражение: (a² – 3a + 5) / ((a² + 2)(a² – 1))
Значение при a = – 2: 5 / 6.

С-6. Вариант 2.

Проверяемая тема: «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

1. Преобразуйте в дробь выражение:
   а) (5a–1)/12a + (a+6)/15a; б) (6x–y)/14x – (x–4y)/21x.
2. Представьте в виде дроби:
   а) (a+b)/a – a/(a–b); б) n/(n+5) + n/(n–5).
3. Упростите выражение (y+2)/(y²–2y) – (y+4)/(y²–4) и найдите его значение при у = –3.

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Преобразуйте в дробь выражение:
а) (5a–1)/12a + (a + 6) / 15a
1. Найдем общий знаменатель. Знаменатели 12a и 15a. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — 60a.
2. Приведем дроби к общему знаменателю:
Первая дробь: (5a – 1)/12a = (5(5a – 1)) / (512a) = (25a – 5) / 60a
Вторая дробь: (a + 6)/15a = (4(a + 6)) / (415a) = (4a + 24) / 60a
3. Сложим дроби:
(25a – 5 + 4a + 24) / 60a = (29a + 19) / 60a
Ответ: (29a + 19) / 60a.
—
б) (6x–y)/14x – (x–4y) / 21x
1. Найдем общий знаменатель. Знаменатели 14x и 21x. НОЗ — 42x.
2. Приведем дроби к общему знаменателю:
Первая дробь: (6x – y)/14x = (3(6x – y)) / (314x) = (18x – 3y) / 42x
Вторая дробь: (x – 4y)/21x = (2(x – 4y)) / (221x) = (2x – 8y) / 42x
3. Вычтем дроби:
(18x – 3y – (2x – 8y)) / 42x = (18x – 3y – 2x + 8y) / 42x = (16x + 5y) / 42x
Ответ: (16x + 5y) / 42x

№ 2. Представьте в виде дроби:
а) (a + b)/a – a/(a–b)
1. Найдем общий знаменатель. Знаменатели a и (a – b). НОЗ — a(a – b).
2. Приведем дроби к общему знаменателю:
Первая дробь: (a + b)/a = ((a + b)(a – b)) / (a(a – b)) = (a² – b²) / (a(a – b))
Вторая дробь: a / (a – b) = (a a) / (a(a – b)) = a² / (a(a – b))
3. Вычтем дроби:
(a² – b² – a²) / (a(a – b)) = ( – b²) / (a(a – b))
Ответ: – b² / (a(a – b)).
—
б) n/(n + 5) + n/(n–5)
1. Найдем общий знаменатель. Знаменатели (n + 5) и (n – 5). НОЗ — (n + 5)(n – 5).
2. Приведем дроби к общему знаменателю:
Первая дробь: n / (n + 5) = (n(n – 5)) / ((n + 5)(n – 5))
Вторая дробь: n / (n – 5) = (n(n + 5)) / ((n + 5)(n – 5))
3. Сложим дроби:
(n(n – 5) + n(n + 5)) / ((n + 5)(n – 5)) = (n² – 5n + n² + 5n) / ((n + 5)(n – 5)) = (2n²) / ((n + 5)(n – 5))
Ответ: 2n² / ((n + 5)(n – 5)).

№ 3. Упростите выражение (y + 2) / (y²–2y) – (y + 4) / (y²–4) и найдите его значение при у = –3.
1. Разложим знаменатели на множители:
y² – 2y = y(y – 2)
y² – 4 = (y – 2)(y + 2)
Теперь выражение имеет вид: (y + 2) / (y(y – 2)) – (y + 4) / ((y – 2)(y + 2))
2. Найдем общий знаменатель. НОЗ — y(y – 2)(y + 2).
3. Приведем дроби к общему знаменателю:
Первая дробь: (y + 2) / (y(y – 2)) = ((y + 2)(y + 2)) / (y(y – 2)(y + 2)) = ((y + 2)²) / (y(y – 2)(y + 2))
Вторая дробь: (y + 4) / ((y – 2)(y + 2)) = (y(y + 4)) / (y(y – 2)(y + 2))
4. Вычтем дроби:
[ (y + 2)² – y(y + 4) ] / [ y(y – 2)(y + 2) ]
5. Упростим числитель:
(y + 2)² = y² + 4y + 4
y(y + 4) = y² + 4y
Теперь вычтем: (y² + 4y + 4) – (y² + 4y) = y² + 4y + 4 – y² – 4y = 4
Числитель после вычитания: 4
6. Запишем упрощенное выражение:
4 / [ y(y – 2)(y + 2) ]
7. Найдем значение при y = –3:
Подставим y = –3 в упрощенное выражение:
Знаменатель: (–3) (–3 – 2) (–3 + 2) = (– 3) (– 5) (– 1) = –15
Значение дроби: 4 / (–15) = –4/15.

ОТВЕТ:
Упрощенное выражение: 4 / (y(y² – 4));
Значение при y = –3: –4/15.

Вы смотрели: Самостоятельная работа С–6 по алгебре 8 класс «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями» для УМК Макарычев (до 2023 года). Код материалов: Алгебра 8 Самостоятельная 6.

Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

(с) Цитаты из учебного пособия «Математика. Алгебра : 8–й класс : базовый уровень : контрольные и самостоятельные работы — Л. Б. Крайнева. — М.: Просвещение, 2024» использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения