Алгебра 8 Самостоятельная 9

Самостоятельная работа С–9 по алгебре 8 класс с ответами «Преобразование рациональных выражений» для УМК Макарычев (с 2023 года). Код материалов: Алгебра 8 Самостоятельная 9.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Алгебра 8 класс (Макарычев)
Самостоятельная работа № 9

Проверяемая тема: «Преобразование рациональных выражений».

С-9. Вариант 1.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

• № 1. Выполните действия:
  а) (a/b – b/a) : (1/a + 1/b); б) (c-3)/(4-c) • (c – c/(c-3)).
• № 2. Упростите выражение
  (y-2)/(y²+4) • ((y+2)/(y-2) + (y-2)/(y+2)).
• № 3. Одна труба может наполнить бассейн за 2 ч, а другая — за 3 ч. За какое время будет наполнен бассейн, если обе трубы открыть одновременно?

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Выполните действия:
а) (a/b ─ b/a) : (1/a + 1/b)
Решение:
1. Приведём к общему знаменателю:
a/b ─ b/a = (a^2 ─ b^2)/ab = (a─b)(a+b)/ab.
1/a + 1/b = (b + a)/ab.
2. Деление заменяем умножением на обратную дробь:
(a─b)(a+b)/ab : (a+b)/ab = (a─b)(a+b)/ab • ab/(a+b) = a ─ b.
ОТВЕТ: a ─ b.
— — —
б) (c─3)/(4─c) • (c ─ c/(c─3))
Решение:
1. Упростим выражение в скобках:
c ─ c/(c─3) = (c(c─3) ─ c)/(c─3) = (c^2 ─ 3c ─ c)/(c─3) = (c^2 ─ 4c)/(c─3).
2. Подставим:
(c─3)/(4─c) • (c^2 ─ 4c)/(c─3) = (c^2 ─ 4c)/(4─c).
3. Заметим, что c^2 ─ 4c = c(c─4) , а 4─c = ─(c─4) :
(c(c─4))/(─(c─4)) = ─c.
ОТВЕТ: ─c.

№ 2. Упростите выражение
(y─2)/(y^2+4) • ((y+2)/(y─2) + (y─2)/(y+2))
Решение:
1. Сначала упростим сумму в скобках:
(y+2)/(y─2) + (y─2)/(y+2) = ((y+2)^2 + (y─2)^2)/(y─2)(y+2).
2. Раскроем квадраты:
(y+2)^2 + (y─2)^2 = y^2 + 4y + 4 + y^2 ─ 4y + 4 = 2y^2 + 8 = 2(y^2 + 4).
3. Знаменатель: (y─2)(y+2) = y^2 ─ 4.
4. Получаем: (2(y^2+4))/(y^2 ─ 4).
5. Умножаем на (y─2)/(y^2+4) :
(y─2)/(y^2+4) • (2(y^2+4))/(y^2 ─ 4) = (2(y─2))/(y^2 ─ 4).
6. Заметим, что y^2 ─ 4 = (y─2)(y+2) :
(2(y─2))/(y─2)(y+2) = 2/(y+2).
ОТВЕТ: 2/(y+2).

№ 3. Одна труба может наполнить бассейн за 2 ч, а другая — за 3 ч. За какое время будет наполнен бассейн, если обе трубы открыть одновременно?
Решение:
1. Производительности: 1/2 бассейна/ч и 1/3 бассейна/ч.
2. Совместная производительность:
1/2 + 1/3 = (3+2)/6 = 5/6 бассейна/ч.
3. Время наполнения:
t = 1/(5/6) = 6/5 = 1,2 ч = 1  ч  12 мин.
ОТВЕТ: 1,2 ч.

С-9. Вариант 2.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

• № 1. Выполните действия:
  а) (1/m + 1/n) : (m/n² – 1/m); б) (a-4)/(a-5) • (a + a/(4-a))
• № 2. Упростите выражение (x+5)/(x²+25) • ((x+5)/(x-5) + (x-5)/(x+5)).
• № 3. Одна труба может наполнить бассейн за 3 ч, а другая — за 9 ч. За какое время будет наполнен бассейн, если обе трубы открыть одновременно?

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Выполните действия:
а) (1/m + 1/n) : (m/(n^2) ─ 1/m)
Решение:
1. Упростим первую скобку: 1/m + 1/n = (n + m)/mn.
2. Вторая скобка:
m/(n^2) ─ 1/m = (m^2 ─ n^2)/(m n^2) = (m─n)(m+n)/(m n^2).
3. Деление:
(m+n)/mn : (m─n)(m+n)/(m n^2) = (m+n)/mn • (m n^2)/(m─n)(m+n) = n/(m─n).
ОТВЕТ: n/(m─n).
— — —
б) (a─4)/(a─5) • (a + a/(4─a))
Решение:
1. Упростим скобку:
a + a/(4─a) = (a(4─a) + a)/(4─a) = (4a ─ a^2 + a)/(4─a) = (5a ─ a^2)/(4─a) = (a(5─a))/(4─a).
2. Умножим: (a─4)/(a─5) • (a(5─a))/(4─a).
3. Заметим: a─4 = ─(4─a) , 5─a = ─(a─5) :
(─(4─a))/(a─5) • (a • (─(a─5)))/(4─a) = (─(4─a))/(a─5) • (─a(a─5))/(4─a) = a.
ОТВЕТ: a.

№ 2. Упростите выражение
(x+5)/(x^2+25) • ((x+5)/(x─5) + (x─5)/(x+5))
Решение:
1. Сумма в скобках:
(x+5)/(x─5) + (x─5)/(x+5) = ((x+5)^2 + (x─5)^2)/(x─5)(x+5).
2. Числитель:
(x+5)^2 + (x─5)^2 = x^2 + 10x + 25 + x^2 ─ 10x + 25 = 2x^2 + 50 = 2(x^2 + 25).
3. Знаменатель: (x─5)(x+5) = x^2 ─ 25.
4. Получаем: (2(x^2+25))/(x^2 ─ 25).
5. Умножаем на (x+5)/(x^2+25) :
(x+5)/(x^2+25) • (2(x^2+25))/(x^2 ─ 25) = (2(x+5))/(x^2 ─ 25).
6. Так как x^2 ─ 25 = (x─5)(x+5) , то:
(2(x+5))/(x─5)(x+5) = 2/(x─5).
ОТВЕТ: 2/(x─5).

№ 3. Одна труба может наполнить бассейн за 3 ч, а другая — за 9 ч. За какое время будет наполнен бассейн, если обе трубы открыть одновременно?
Решение:
1. Производительности: 1/3 и 1/9 бассейна/ч.
2. Совместная: 1/3 + 1/9 = (3+1)/9 = 4/9 бассейна/ч.
3. Время: t = 1/(4/9) = 9/4 = 2,25 ч = 2 ч 15 мин.
ОТВЕТ: 2,25 ч.

Вы смотрели: Самостоятельная работа С–9 по алгебре 8 класс с ответами «Преобразование рациональных выражений» для УМК Макарычев (с 2023 года). Код материалов: Алгебра 8 Самостоятельная 9.

Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

(с) Цитаты из учебного пособия «Математика. Алгебра : 8–й класс : базовый уровень : контрольные и самостоятельные работы — Л. Б. Крайнева. — М.: Просвещение, 2024» использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения