Небольшая контрольная на 20-30 минут по геометрии 7 класс с ответами и решениями «Параллельные прямые» Варианты 3-4. Цитаты из Задачника использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия 7 Проверочная 3 в34.
Вернуться к списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 7 класс
Проверочная №2. Варианты 3-4
ПР-3 Вариант 3
№ 3. 1) Точка О является общей серединой отрезков РМ и KN. Докажите, что прямые РК и MN параллельны.
Решение: Рассмотрим треугольники POK и MON.
Дано: PO = OM, KO = ON.
Углы ∠POK и ∠MON равны как вертикальные.
Следовательно, △ POK = △ MON по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними). Из равенства треугольников: ∠OPK = ∠OMN.
Эти углы — накрест лежащие при прямых PK и MN и секущей PM.
Значит, PK ∥ MN.
Ответ: Доказано.
№ 3. 2) Прямые АС и ВК параллельны, ∠BCA = 37°, ВС — биссектриса угла АВР (рис. 223). Найдите угол КВА.
Решение:
1. Так как AC ∥ BK и BC — секущая, ∠BCA и ∠CBP — накрест лежащие углы. Следовательно: ∠CBP = ∠BCA = 37°.
2. По условию BC — биссектриса ∠ABP, поэтому: ∠ABC = ∠CBP = 37°.
Тогда весь угол ∠ABP равен: ∠ABP = ∠ABC + ∠CBP = 37° + 37° = 74°.
3. Точки K, B, P лежат на одной прямой, значит, ∠KBA и ∠ABP — смежные углы. Их сумма равна 180°: ∠KBA + ∠ABP = 180°.
Подставляем значение ∠ABP: ∠KBA + 74° = 180°,
откуда ∠KBA = 180° − 74° = 106°.
Ответ: ∠KBA = 106°.
№ 3. 3) Диаметр окружности делит две хорды пополам. Докажите, что эти хорды параллельны.
Решение:
Пусть диаметр d делит хорду AB пополам в точке M, а хорду CD пополам в точке N.
Центр окружности O лежит на диаметре.
Если диаметр делит хорду пополам, то он перпендикулярен этой хорде (свойство окружности).
Значит, d ⊥ AB и d ⊥ CD.
Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, AB ∥ CD.
Ответ: Доказано.
ПР-3 Вариант 4
№ 4. 1) На прямой a расположены стороны AC и A₁C₁ треугольников ABC и A₁B₁C₁ (вершины B и B₁ находятся по одну сторону от прямой a), AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, BC = B₁C₁. Докажите, что AB ∥ A₁B₁.
Решение:
Треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по трём сторонам (дано: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, BC = B₁C₁).
Из равенства треугольников: ∠BAC = ∠B₁A₁C₁.
Эти углы — соответственные при прямых AB и A₁B₁ и секущей AA₁ (так как A, C, A₁, C₁ на одной прямой a, то AC и A₁C₁ лежат на a, значит, AA₁ — часть прямой a, и углы BAC и B₁A₁C₁ опираются на эту секущую).
Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, AB ∥ A₁B₁.
Ответ: Доказано.
№ 4. 2) Прямые AC и BK параллельны, ∠CAB = 88°, BC — биссектриса угла ABK (рис. 224). Найдите угол ACB.
Решение:
1) AC ∥ BK ⇒ ∠CAB = ∠ABK = 88° (соответственные при секущей AB).
2) BC — биссектриса ∠ABK ⇒ ∠ABC = ∠CBK = 88°/2 = 44°.
3) В △ ABC : ∠CAB = 88°, ∠ABC = 44°,
∠ACB = 180° ─ 88° ─ 44° = 48°.
Ответ: 48°.
Проверка с ответом из Задачника:
В пособии дан ответ 46°. Перепроверим:
∠CAB = 88° — данный, ∠ABK = 88° (как соответственный).
Биссектриса делит на 44° и 44°. Тогда ∠ABC = 44°.
Сумма углов треугольника: 88° + 44° + ∠ACB = 180° ⇒ ∠ACB = 48°.
Возможно, в Задачнике опечатка или в условии угол CAB равен 92°. Но по заданному условию ответ 48°.
№ 4. 3) Даны две параллельные хорды окружности. Диаметр делит одну из них пополам. Докажите, что и другая хорда делится этим диаметром пополам.
Решение:
Пусть хорды AB ∥ CD, диаметр d делит AB пополам в точке M.
Тогда d ⊥ AB (свойство окружности).
Поскольку AB ∥ CD, то d ⊥ CD.
Если диаметр перпендикулярен хорде, то он делит её пополам (свойство окружности). Следовательно, d делит CD пополам.
Ответ: Доказано.
Вы смотрели: контрольная работа по геометрии 7 класс с ответами и решениями «Параллельные прямые» Варианты 3-4. Цитаты из пособия «Математика. Геометрия : 7—9-е классы : базовый уровень : задачник : учебное пособие / Б. Г. Зив, В. М. Мейлер, А. Г. Баханский. — Москва : Просвещение, 2024» использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия 7 Проверочная 3 в34.