Небольшая контрольная работа (20-30 минут) по геометрии 7 класс с ответами и решениями «Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника» Варианты 1-2. Цитаты из Задачника использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия 7 Проверочная 4 в12.
Вернуться к списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 7 класс
Проверочная №4. Варианты 1-2
ПР-4 Вариант 1
№ 1. 1) Треугольник АВС равнобедренный (АВ = ВС), ∠АВС = 20°. Найдите угол DCF.
Дано: △ABC, AB = BC, ∠ABC = 20°
F на продолжении BC за C (B ─ C ─ F)
D на продолжении AC за C (A ─ C ─ D)
Найти: ∠DCF — ?
Решение:
1. △ABC — равнобедренный (AB = BC) ⇒
∠BAC = ∠BCA = (180° ─ 20°)/2 = 80°.
2. ∠DCF — вертикальный с ∠ACB при пересечении прямых AC и BC, продолженных за точку C.
Значит, ∠DCF = ∠ACB = 80°.
Ответ: 80°.
№ 1. 2) Точка D лежит на стороне AC треугольника ABC, ∠BDA = 40°. Докажите, что BC > BD. Может ли угол C быть равным 41°, 40°, 39°? Ответ обоснуйте.
Решение:
─ В треугольнике ABD: ∠BDA = 40°, значит, ∠ADB = 40°.
─ В треугольнике BDC: ∠BDC = 180° − ∠BDA = 140°.
─ В треугольнике BDC сторона BC лежит против угла BDC = 140°, а сторона BD лежит против угла C.
─ По теореме синусов (или по свойству: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона):
В ΔBDC: угол BDC = 140° — наибольший, значит, BC > BD. Доказано.
─ Может ли ∠C быть 41°?
В ΔBDC: сумма углов = 180°, ∠DBC = 180° − 140° − ∠C = 40° − ∠C.
Угол DBC должен быть > 0 ⇒ 40° − ∠C > 0 ⇒ ∠C < 40°.
Значит, ∠C не может быть 41° или 40°, может быть только меньше 40°, например, 39°.
Ответ: Может быть = 39°.
№ 1. 3) В треугольнике KAC ∠KAC = 100°, ∠AKC = 20°, D ∈ KC, ∠DAC = 60°, DC = 12 см. Найдите периметр треугольника ADC.
Решение:
─ ∠KAC = 100°, ∠AKC = 20° ⇒ ∠ACK = 180° − 100° − 20° = 60°.
─ ∠DAC = 60°, значит, AD — биссектриса угла KAC? Нет, ∠KAC = 100°, ∠DAC = 60°, тогда ∠KAD = 40°.
─ В ΔADC: ∠DAC = 60°, ∠ACD = 60° ⇒ ΔADC равносторонний (все углы 60°).
─ Значит, AD = AC = DC = 12 см.
─ Периметр ADC = 12 + 12 + 12 = 36 см.
Ответ: 36 см.
ПР-4 Вариант 2
№ 2. 1) Треугольник ABC равнобедренный (AB = ВC), ∠DCE = 40° (рис. 226). Найдите угол ABC.
Дано: △ABC равнобедренный AB = BC
D на продолжении AC за C (A ─ C ─ D)
E на продолжении BC за C (B ─ C ─ E)
∠DCE = 40°
Найти: ∠ABC — ?
Решение:
1. Т. к. AB = BC, то ∠BAC = ∠ACB — углы при основании AC.
2. ∠DCE — это угол между CD и CE.
CD — продолжение AC за C,
CE — продолжение BC за C.
Угол DCE является вертикальным с углом ACB (точка C, пересечение прямых AC и BC).
3. Значит ∠DCE = ∠ACB ⇒ ∠ACB = 40°.
4. Тогда ∠ABC = 180° ─ 2 • 40° = 100°.
Ответ: 100°.
№ 2. 2) Точка М лежит на стороне ED треугольника FED, в котором угол Е тупой, ∠FMD = 100°. Докажите, что FE > ME. Может ли угол D быть равен 79°, 80°, 81°? Ответ обоснуйте.
Дано: точка M лежит на стороне ED треугольника FED;
∠E — тупой;
∠FMD = 100°.
Доказать: FE > ME. Может ли угол D быть равен 79°, 80°, 81°?
Решение:
Доказательство FE > ME:
1. Рассмотрим треугольник FME. Угол ∠FMD — внешний для этого треугольника, поэтому:
∠FMD = ∠MEF + ∠MFE.
2. По условию ∠FMD = 100°, значит:
∠MEF + ∠MFE = 100°.
3. Так как ∠E тупой, то ∠MEF > 90°. Следовательно, ∠MFE < 10°.
4. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Поскольку ∠MEF > ∠MFE, то FE > ME.
Проверка возможных значений угла D:
1. Рассмотрим треугольник FMD. Сумма его углов:
∠FMD + ∠FDM + ∠DFM = 180°.
2. Подставим известное значение:
100° + ∠FDM + ∠DFM = 180° ⇒ ∠FDM + ∠DFM = 80°.
3. Поскольку ∠DFM > 0°, то:
∠FDM < 80°.
4. Таким образом:
79° — возможно;
80° и 81° — невозможно.
Ответ: доказано, что FE > ME; угол D может быть равен 79°.
№ 2. 3) В треугольнике МОР ∠ОМР = 10°, ∠МРО = 60°, К ∈ МР, ∠МОК = 50°, ОР = 8 см. Найдите периметр треугольника ОКР.
Дано: △MOP: ∠OMP = 10°, ∠MPO = 60°;
точка K ∈ MP; ∠MOK = 50°; OP = 8 см.
Найти: периметр треугольника OKP.
Решение:
1. Найдём ∠MOP в треугольнике MOP:
∠MOP = 180° ─ ∠OMP ─ ∠MPO = 180° ─ 10° ─ 60° = 110°.
2. Найдём ∠KOP:
∠KOP = ∠MOP ─ ∠MOK = 110° ─ 50° = 60°.
3. Рассмотрим треугольник OKP:
∠KOP = 60° (из п. 2);
∠OPK = ∠MPO = 60° (общий угол);
тогда ∠OKP = 180° ─ 60° ─ 60° = 60°.
4. Треугольник OKP — равносторонний (∠KOP = ∠OPK = ∠OKP = 60°), значит:
OK = KP = OP = 8 см.
5. Периметр треугольника OKP:
P_{△OKP} = OK + KP + OP = 8 + 8 + 8 = 24 см.
Ответ: периметр треугольника OKP равен 24 см.
Вы смотрели: контрольную работу по геометрии 7 класс с ответами и решениями «Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника» Варианты 1-2. Цитаты из пособия «Математика. Геометрия : 7—9-е классы : базовый уровень : задачник : учебное пособие / Б. Г. Зив, В. М. Мейлер, А. Г. Баханский. — Москва : Просвещение, 2024» использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия 7 Проверочная 4 в12.