Небольшая контрольная на 20-30 минут по геометрии 7 класс с ответами и решениями «Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника» Варианты 3-4. Цитаты из Задачника использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия 7 Проверочная 4 в34.
Вернуться к списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 7 класс
Проверочная №4. Варианты 3-4
ПР-4 Вариант 3
№ 3. 1) Треугольник АВС равнобедренный (АВ = ВС), ∠DBE = 50° (рис. 227). Найдите угол ВСА.
Дано: △ABC — равнобедренный, AB = BC; ∠DBE = 50°;
точка E на продолжении луча AB (порядок точек: A, B, E);
точка D на продолжении луча CB (порядок точек: C, B, D).
Найти: ∠BCA.
Решение:
1. Углы ∠ABC и ∠DBE — вертикальные, образованные пересечением прямых AE и CD, поэтому:
∠ABC = ∠DBE = 50°.
2. В равнобедренном треугольнике ABC с AB = BC углы при основании AC равны:
∠BAC = ∠BCA.
3. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно:
∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°.
4. Подставляем известные значения:
• ∠BCA + 50° = 180°.
5. Решаем уравнение:
• ∠BCA = 130° ⇒ ∠BCA = (130°)/2 = 65°.
Ответ: ∠BCA = 65°.
№ 3. 2) Точка F лежит на стороне КЕ треугольника КСЕ, ∠CFE = 70°. Докажите, что КС > CF. Может ли угол К быть равен 71°, 70°, 69°? Ответ обоснуйте.
Решение:
∠CFE — внешний угол для треугольника CFK, значит ∠CFE = ∠K + ∠FCK.
70° = ∠K + ∠FCK ⇒ ∠K = 70° − ∠FCK < 70°.
Значит ∠K < 70°.
Из вариантов 71°, 70°, 69° подходит только 69°.
Доказательство КС > CF: в треугольнике CFK против большего угла лежит большая сторона.
∠CFE = 70° ⇒ смежный ∠CFK = 110°.
В треугольнике CFK: ∠K < 70°, ∠FCK = 70° − ∠K > 0, но ∠CFK = 110° — наибольший угол, против него лежит сторона CK, значит CK > CF.
Ответ: Может быть 69°.
№ 3. 3) В треугольнике АВС ∠АВС = 50°, D ∈ BC, ∠BAD = 10°, ∠DAC = 60°, AD = 7 см. Найдите периметр треугольника ADC.
Решение:
∠BAC = 10° + 60° = 70°.
∠ACB = 180° − (50° + 70°) = 60°.
Треугольник ADC: ∠DAC = 60°, ∠ACD = 60° ⇒ треугольник ADC равносторонний?
Проверим: ∠ADC = 180° − (60° + 60°) = 60° — да, равносторонний.
AD = 7 ⇒ AC = DC = 7.
Периметр ADC = AD + DC + AC = 7 + 7 + 7 = 21 см.
Ответ: 21 см.
ПР-4 Вариант 4
№ 4. 1) Треугольник РТК равнобедренный (РТ = КТ), ∠ТКР = 40°. Найдите угол MTN.
Решение:
PT = KT ⇒ углы при основании PK равны: ∠KPT = ∠TKP = 40°.
∠PTK = 180° − 40° − 40° = 100°.
Угол MTN — вертикальный с углом PTK (так как M на продолжении KT за T, N на продолжении PT за T, лучи TM и TN — продолжения сторон KT и PT, угол между ними равен углу PTK).
Значит ∠MTN = ∠PTK = 100°.
Ответ: 100°.
№ 4. 2) Точка N лежит на стороне AM треугольника АРМ, ∠ANP = 105°, ∠NPM = 60°. Докажите, что MN < РМ. Может ли угол А быть равным 74°, 75°, 76°? Ответ обоснуйте.
Дано: точка N лежит на стороне AM треугольника APM;
∠ANP = 105°;
∠NPM = 60°.
Доказать: MN < PM. Может ли угол A быть равным 74°, 75°, 76°?
Решение:
Доказательство MN < PM:
1. Рассмотрим треугольник PNM. Найдём ∠PNM:
∠PNM = 180° ─ ∠ANP = 180° ─ 105° = 75°,
так как углы ∠ANP и ∠PNM смежные.
2. Найдём ∠PMN в треугольнике PNM:
∠PMN = 180° ─ ∠PNM ─ ∠NPM = 180° ─ 75° ─ 60° = 45°.
3. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Сравним углы:
∠PNM = 75° > ∠PMN = 45°.
Следовательно, сторона PM, лежащая напротив ∠PNM, больше стороны MN, лежащей напротив ∠PMN:
PM > MN ⇒ MN < PM.
Проверка возможных значений угла A:
1. Угол A треугольника APM совпадает с углом ∠PMN треугольника PNM, который мы нашли равным 45°.
2. Однако угол A в треугольнике APM — это тот же угол, что и ∠PMN, то есть он фиксирован и равен 45°.
3. Проверим, могут ли значения 74°, 75°, 76° быть равны углу A:
74° ≠ 45° — невозможно;
75° ≠ 45° — невозможно;
76° ≠ 45° — невозможно.
Обоснование: Угол A однозначно определяется геометрией задачи и равен 45°. Любые другие значения противоречат условиям задачи и свойствам треугольника.
Ответ: доказано, что MN < PM;
угол A не может быть равным 74°, 75° или 76° — он равен 45°.
№ 4. 3) В треугольнике АВС ∠ВАС = 100°, ∠АВС = 20°, К ∈ ВС, ∠АКВ = 120°. Периметр треугольника АКС равен 39 см. Найдите длину стороны АК.
Решение:
∠ACB = 180° − 100° − 20° = 60°.
∠AKB = 120° ⇒ ∠AKC = 60° (смежный).
В треугольнике AKC: ∠AKC = 60°, ∠ACK = 60° ⇒ треугольник AKC равносторонний?
Проверим: ∠KAC = 180° − 60° − 60° = 60° — да, равносторонний.
Периметр AKC = 3·AK = 39 ⇒ AK = 13 см.
Ответ: 13 см.
Вы смотрели: контрольная работа по геометрии 7 класс с ответами и решениями «Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника» Варианты 3-4. Цитаты из пособия «Математика. Геометрия : 7—9-е классы : базовый уровень : задачник : учебное пособие / Б. Г. Зив, В. М. Мейлер, А. Г. Баханский. — Москва : Просвещение, 2024» использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия 7 Проверочная 4 в34.