Самостоятельная работа № 2 по геометрии для 8 класса с ответами и решениями «Параллелограмм и трапеция (1)» (2 варианта), которые используются в комплекте с федеральным учебником по геометрии Л.С. Атанасян и др. (с 2023 г.). Ответы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания. Код материалов: Геометрия 8 класс Самостоятельная 2.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 8 класс
Самостоятельная работа № 2
Тема учебника: § 2. Параллелограмм и трапеция (48. Параллелограмм. 49. Признаки параллелограмма. 50. Трапеция. Задачи)
СР-2. Вариант 1 (задания)
Решения и ответы на Вариант 1
Задание 1. На диагонали \(AC\) параллелограмма \(ABCD\) отложены равные отрезки \(AE\) и \(CK\). Докажите, что четырёхугольник \(BEDK\) — параллелограмм.
Дано:
\(ABCD\) — параллелограмм.
\(E \in AC\), \(K \in AC\).
\(AE = CK\).
Доказать: \(BEDK\) — параллелограмм.
Доказательство:
1. Свойство диагоналей параллелограмма: Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\). Тогда \(AO = OC\) и \(BO = OD\).
2. Рассмотрим отрезки на диагонали \(AC\):
По условию \(AE = CK\). Выразим отрезки \(EO\) и \(OK\):
\(EO = AO \mathbin{-} AE\)
\(OK = OC \mathbin{-} CK\)
Так как \(AO = OC\) и \(AE = CK\), то \(EO = OK\).
3. Рассмотрим четырёхугольник \(BEDK\):
В этом четырёхугольнике диагонали — это отрезки \(BD\) и \(EK\), которые пересекаются в точке \(O\).
Мы знаем, что \(BO = OD\) (из свойства параллелограмма \(ABCD\)) и \(EO = OK\) (доказано в п. 2).
4. Признак параллелограмма: Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.
Следовательно, \(BEDK\) — параллелограмм.
Что и требовалось доказать.
Задание 2. Найдите боковые стороны равнобедренной трапеции, основания которой равны 14 см и 8 см, а один из углов равен \(120^\circ\).
Дано:
\(ABCD\) — равнобедренная трапеция (\(AB = CD\)).
\(AD = 14\) см, \(BC = 8\) см.
\(\angle A = 120^\circ\).
Найти: \(AB\) и \(CD\).
Решение:
1. Так как трапеция равнобедренная, углы при большем основании равны: \(\angle A = \angle D = 120^\circ\). Тогда острые углы при меньшем основании равны: \(\angle B = \angle C = 180^\circ \mathbin{-} 120^\circ = 60^\circ\). (Или, если \(120^\circ\) — острый угол, то \(\angle A = 60^\circ\)).
2. Проведем высоты \(BE\) и \(CF\) к основанию \(AD\).
3. В прямоугольном \(\triangle ABE\): \(\angle A = 60^\circ\), \(\angle E = 90^\circ\), значит \(\angle B = 30^\circ\).
4. Катет \(AE\), лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы \(AB\): \(AE = \frac{1}{2} AB\).
5. Так как трапеция равнобедренная, \(\triangle ABE = \triangle DCF\), значит \(FD = AE\).
6. Четырёхугольник \(BCFE\) — прямоугольник, поэтому \(EF = BC = 8\) см.
7. Большее основание: \(AD = AE + EF + FD = 2AE + BC\).
\(14 = 2AE + 8 \Rightarrow 2AE = 6 \Rightarrow AE = 3\) см.
8. Находим боковую сторону: \(AB = 2 \cdot AE = 2 \cdot 3 = 6\) см. Так как трапеция равнобедренная, \(CD = AB = 6\) см.
Ответ: Боковые стороны равны по 6 см.
СР-2. Вариант 2 (задания)
Решения и ответы на Вариант 2
Задание 1. На сторонах \(MN\) и \(PK\) параллелограмма \(KMNP\) отложены равные отрезки \(MA\) и \(PB\). Докажите, что четырёхугольник \(AMBP\) — параллелограмм.
Дано:
\(KMNP\) — параллелограмм.
\(A \in MN\), \(B \in PK\).
\(MA = PB\).
Доказать: \(AMBP\) — параллелограмм.
Доказательство:
1. Свойство параллелограмма: В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Значит, \(MN \parallel PK\) и \(MN = PK\).
2. Рассмотрим стороны \(AM\) и \(PB\):
• Точки \(A\) и \(B\) лежат на сторонах \(MN\) и \(PK\) соответственно. Так как \(MN \parallel PK\), то отрезки \(AM\) и \(PB\) также лежат на параллельных прямых. Значит, \(AM \parallel PB\).
• По условию задачи \(MA = PB\).
3. Признак параллелограмма: Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.
В четырехугольнике \(AMBP\) стороны \(AM\) и \(PB\) являются противоположными. Мы доказали, что они параллельны и равны. Следовательно, \(AMBP\) — параллелограмм.
Что и требовалось доказать.
Задание 2. Найдите меньшее основание равнобедренной трапеции, если её большее основание равно 16 см, боковая сторона равна 10 см, а один из углов равен \(60^\circ\).
Дано:
\(ABCD\) — равнобедренная трапеция (\(AB = CD\)).
\(AD = 16\) см (большее основание).
\(AB = CD = 10\) см (боковые стороны).
\(\angle A = 60^\circ\) (острый угол при большем основании).
Найти: \(BC\) (меньшее основание).
Решение:
1. Построение высот: Проведем высоты \(BE\) и \(CF\) к основанию \(AD\).
2. Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ABE\):
• \(\angle A = 60^\circ\), \(\angle AEB = 90^\circ\), значит \(\angle ABE = 30^\circ\).
• Свойство катета против угла в \(30^\circ\): Катет \(AE\), лежащий против угла \(\angle ABE = 30^\circ\), равен половине гипотенузы \(AB\).
• \(AE = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\) см.
3. Найдем меньшее основание \(BC\):
• Так как трапеция равнобедренная, \(\triangle ABE = \triangle DCF\), значит \(FD = AE = 5\) см.
• Четырехугольник \(BCFE\) — прямоугольник, значит \(EF = BC\).
• Большее основание \(AD\) состоит из отрезков: \(AD = AE + EF + FD\).
• \(16 = 5 + BC + 5\)
• \(16 = 10 + BC\)
• \(BC = 16 \mathbin{-} 10 = 6\) см.
Ответ: Меньшее основание равно 6 см.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии для 8 класса с ответами и решениями (2 варианта), которые используются в комплекте с федеральным учебником по геометрии Л.С. Атанасян и др. (с 2023 г.). Ответы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания. Код материалов: Геометрия 8 класс Самостоятельная 2.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)