Самостоятельная работа № 3 по геометрии для 8 класса с ответами и решениями «Параллелограмм и трапеция (2)» (2 варианта), которые используются в комплекте с федеральным учебником по геометрии Л.С. Атанасян и др. (с 2023 г.). Ответы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания. Код материалов: Геометрия 8 класс Самостоятельная 3.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 8 класс
Самостоятельная работа № 3
Тема учебника: § 2. Параллелограмм и трапеция (48. Параллелограмм. 49. Признаки параллелограмма. 50. Трапеция. Задачи)
СР-3. Вариант 1 (задания)
Решения и ответы на Вариант 1
Задание 1. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма \(ABCD\) проведена прямая, пересекающая стороны \(AD\) и \(BC\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 28 см, \(AE = 5\) см, \(BF = 3\) см.
Дано:
\(ABCD\) — параллелограмм.
\(O\) — точка пересечения диагоналей.
\(E \in AD\), \(F \in BC\).
\(P_{ABCD} = 28\) см.
\(AE = 5\) см, \(BF = 3\) см.
Найти: стороны параллелограмма.
Решение:
1. Рассмотрим \(\triangle AOE\) и \(\triangle COF\):
• \(AO = OC\) (свойство диагоналей параллелограмма).
• \(\angle AOE = \angle COF\) (вертикальные).
• \(\angle OAE = \angle OCF\) (накрест лежащие при \(AD \parallel BC\) и секущей \(AC\)).
• Следовательно, \(\triangle AOE = \triangle COF\) по второму признаку (по стороне и двум прилежащим углам).
2. Из равенства треугольников следует:
• \(AE = CF = 5\) см.
• \(OE = OF\).
3. Аналогично рассмотрим \(\triangle BOE\) и \(\triangle DOF\) (или \(\triangle BOE\) и \(\triangle DOE\), но проще через стороны):
• Так как \(BC = BF + FC\), найдем сторону \(BC\):
\(BC = 3 + 5 = 8\) см.
• В параллелограмме противоположные стороны равны, значит \(AD = BC = 8\) см.
4. Найдем сторону \(AB\):
• Периметр \(P = 2 \cdot (AB + BC)\).
• \(28 = 2 \cdot (AB + 8)\).
• \(14 = AB + 8 \Rightarrow AB = 6\) см.
• Тогда \(CD = AB = 6\) см.
Ответ: Стороны параллелограмма равны 8 см и 6 см.
Задание 2. Найдите меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, основания которой равны 10 см и 6 см, а один из углов равен \(45^\circ\).
Дано:
\(ABCD\) — прямоугольная трапеция.
\(\angle A = \angle B = 90^\circ\) (пусть \(AB\) — меньшая боковая сторона, перпендикулярная основаниям).
\(AD = 10\) см (большее основание), \(BC = 6\) см (меньшее основание).
\(\angle D = 45^\circ\).
Найти: \(AB\).
Решение:
1. Проведем высоту \(CH\) из вершины \(C\) к основанию \(AD\). Тогда \(ABCH\) — прямоугольник, значит \(AH = BC = 6\) см, а \(AB = CH\).
2. Найдем отрезок \(HD\): \(HD = AD \mathbin{-} AH = 10 \mathbin{-} 6 = 4\) см.
3. Рассмотрим прямоугольный \(\triangle CHD\):
• \(\angle D = 45^\circ\), \(\angle CHD = 90^\circ\), значит \(\angle HCD = 180^\circ \mathbin{-} 90^\circ \mathbin{-} 45^\circ = 45^\circ\).
• Так как углы при основании равны (\(\angle D = \angle HCD\)), треугольник \(CHD\) — равнобедренный.
• Значит, \(CH = HD = 4\) см.
4. Так как \(AB = CH\), то \(AB = 4\) см.
Ответ: Меньшая боковая сторона равна 4 см.
СР-3. Вариант 2 (задания)
Решения и ответы на Вариант 2
Задание 1. Биссектрисы углов \(A\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(M\), лежащей на стороне \(BC\). Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см.
Дано:
\(ABCD\) — параллелограмм.
\(AM\) — биссектриса \(\angle A\), \(DM\) — биссектриса \(\angle D\).
\(M \in BC\).
\(P_{ABCD} = 36\) см.
Найти: стороны параллелограмма.
Решение:
1. Рассмотрим биссектрису \(AM\):
• \(\angle BAM = \angle MAD\) (по определению биссектрисы).
• \(\angle BMA = \angle MAD\) (как накрест лежащие при \(AD \parallel BC\) и секущей \(AM\)).
• Значит, \(\angle BAM = \angle BMA\). Следовательно, \(\triangle ABM\) — равнобедренный, и \(AB = BM\).
2. Рассмотрим биссектрису \(DM\):
• Аналогично: \(\angle CDM = \angle MDA\) (по определению).
• \(\angle CMD = \angle MDA\) (накрест лежащие при \(AD \parallel BC\) и секущей \(DM\)).
• Значит, \(\angle CDM = \angle CMD\). Следовательно, \(\triangle DCM\) — равнобедренный, и \(CD = CM\).
3. Найдем сторону \(BC\):
• \(BC = BM + MC\).
• Так как \(AB = BM\) и \(CD = CM\), а в параллелограмме \(AB = CD\), получаем:
\(BC = AB + AB = 2AB\).
4. Найдем стороны через периметр:
• \(P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (AB + 2AB) = 2 \cdot 3AB = 6AB\).
• \(36 = 6AB \Rightarrow AB = 6\) см.
• Тогда \(BC = 2 \cdot 6 = 12\) см.
Ответ: Стороны параллелограмма равны 6 см и 12 см.
Задание 2. Найдите боковую сторону равнобедренной трапеции, основания которой равны 12 см и 6 см, а один из углов равен \(60^\circ\).
Дано:
\(ABCD\) — равнобедренная трапеция (\(AB = CD\)).
\(AD = 12\) см (большее основание), \(BC = 6\) см (меньшее основание).
\(\angle A = 60^\circ\).
Найти: \(AB\).
Решение:
1. Проведем высоты \(BE\) и \(CF\) к основанию \(AD\).
2. Так как трапеция равнобедренная, \(\triangle ABE = \triangle DCF\), значит \(AE = FD\).
3. Четырехугольник \(BCFE\) — прямоугольник, значит \(EF = BC = 6\) см.
4. Найдем отрезок \(AE\):
• \(AD = AE + EF + FD = 2AE + BC\).
• \(12 = 2AE + 6 \Rightarrow 2AE = 6 \Rightarrow AE = 3\) см.
5. Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ABE\):
• \(\angle A = 60^\circ\), \(\angle AEB = 90^\circ\), значит \(\angle ABE = 30^\circ\).
• Катет \(AE\), лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы \(AB\).
• \(AB = 2 \cdot AE = 2 \cdot 3 = 6\) см.
Ответ: Боковая сторона трапеции равна 6 см.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии для 8 класса с ответами и решениями (2 варианта), которые используются в комплекте с федеральным учебником по геометрии Л.С. Атанасян и др. (с 2023 г.). Ответы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания. Код материалов: Геометрия 8 класс Самостоятельная 3.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)