Самостоятельная работа № 6 по геометрии для 8 класса с ответами и решениями «Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции» (2 варианта), которые используются в комплекте с федеральным учебником по геометрии Л.С. Атанасян и др. (с 2023 г.). Ответы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания. Код материалов: Геометрия 8 класс Самостоятельная 6.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 8 класс
Самостоятельная работа № 6
Тема учебника: Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции
СР-6. Вариант 1 (задания)
Решения и ответы на Вариант 1
Задание 1. Стороны \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) равны соответственно \(32\) см и \(44\) см, а высота, проведённая к стороне \(AB\), равна \(22\) см. Найдите высоту, проведённую к стороне \(BC\).
Решение:
1. Вспомним формулу площади треугольника через сторону и высоту, проведенную к ней: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a\).
2. Найдем площадь треугольника через известные данные (сторону \(AB\) и высоту к ней):
Обозначим высоту к стороне \(AB\) как \(h_{AB} = 22\) см.
\(
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{AB} = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 22 = 16 \cdot 22 = 352 \text{ см}^2
\)
3. Выразим площадь через сторону \(BC\) и неизвестную высоту к ней (\(h_{BC}\)):
\(
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_{BC}
\)
Подставим известные значения (\(S = 352\), \(BC = 44\)):
\(
352 = \frac{1}{2} \cdot 44 \cdot h_{BC}
\)
\(
352 = 22 \cdot h_{BC}
\)
4. Найдем высоту \(h_{BC}\):
\(
h_{BC} = 352 : 22 = 16 \text{ см}
\)
Ответ: высота, проведённая к стороне \(BC\), равна \(16\) см.
Задание 2. Сторона ромба равна \(12\) см, а один из его углов равен \(30^\circ\). Найдите площадь ромба.
Решение:
1. Вспомним формулу площади ромба через сторону и угол между ними: \(S = a^2 \cdot \sin(\alpha)\), где \(a\) — сторона ромба, \(\alpha\) — угол между сторонами.
2. Подставим известные значения:
\(
a = 12 \text{ см}, \quad \alpha = 30^\circ
\)
\(
S = 12^2 \cdot \sin(30^\circ) = 144 \cdot \frac{1}{2} = 72 \text{ см}^2
\)
Ответ: площадь ромба равна \(72 \text{ см}^2\).
Задание 3. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны \(30\) см, а больший угол равен \(135^\circ\).
Решение:
1. Анализ условия: В прямоугольной трапеции две меньшие стороны — это меньшая боковая сторона (которая является высотой) и меньшее основание. По условию они равны \(30\) см.
Обозначим трапецию \(ABCD\), где \(\angle A = \angle B = 90^\circ\) (прямые углы при меньшей боковой стороне \(AB\)).
Тогда \(AB = 30\) см (высота), \(BC = 30\) см (меньшее основание).
Больший угол — это \(\angle D = 135^\circ\) (так как сумма углов при боковой стороне \(CD\) равна \(180^\circ\), а \(\angle C = 90^\circ\)).
2. Найдем большее основание \(AD\):
Проведем высоту \(CH\) из точки \(C\) к основанию \(AD\). Тогда \(AH = BC = 30\) см, а \(AB = CH = 30\) см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle CHD\).
Угол \(\angle HCD = \angle BCD \mathbin{-} \angle BCH = 135^\circ \mathbin{-} 90^\circ = 45^\circ\).
Тогда \(\angle D = 180^\circ \mathbin{-} 90^\circ \mathbin{-} 45^\circ = 45^\circ\).
Так как углы при гипотенузе равны (\(\angle HCD = \angle D = 45^\circ\)), треугольник \(\triangle CHD\) — равнобедренный, значит \(HD = CH = 30\) см.
3. Найдем основание \(AD\):
\(
AD = AH + HD = 30 + 30 = 60 \text{ см}
\)
4. Найдем площадь трапеции:
\(
S = \frac{BC + AD}{2} \cdot AB = \frac{30 + 60}{2} \cdot 30 = \frac{90}{2} \cdot 30 = 45 \cdot 30 = 1350 \text{ см}^2
\)
Ответ: площадь трапеции равна \(1350 \text{ см}^2\).
СР-6. Вариант 2 (задания)
Решения и ответы на Вариант 2
Задание 1. Площадь прямоугольного треугольника равна \(64 \text{ см}^2\). Найдите его катеты, если один из них в \(2\) раза больше другого.
Решение:
1. Вспомним формулу площади прямоугольного треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\), где \(a\) и \(b\) — катеты.
2. Обозначим меньший катет за \(x\) см.
3. Тогда больший катет, который в \(2\) раза больше, будет равен \(2x\) см.
4. Составим уравнение площади:
\(
\frac{1}{2} \cdot x \cdot 2x = 64
\)
5. Решим уравнение:
\(
x^2 = 64
\)
\(
x = 8 \text{ см}
\) (так как длина катета не может быть отрицательной)
6. Найдем второй катет:
\(
2 \cdot 8 = 16 \text{ см}
\)
Ответ: катеты треугольника равны \(8\) см и \(16\) см.
Задание 2. Стороны параллелограмма равны \(18\) см и \(30\) см, а высота, проведённая к большей стороне, равна \(6\) см. Найдите высоту, проведённую к меньшей стороне параллелограмма.
Решение:
1. Вспомним формулу площади параллелограмма через сторону и высоту, проведенную к ней: \(S = a \cdot h_a\).
2. Найдем площадь параллелограмма через известные данные (большую сторону и высоту к ней):
Большая сторона \(a = 30\) см, высота к ней \(h_a = 6\) см.
\(
S = 30 \cdot 6 = 180 \text{ см}^2
\)
3. Выразим площадь через меньшую сторону (\(b = 18\) см) и неизвестную высоту к ней (\(h_b\)):
\(
S = b \cdot h_b
\)
Подставим известные значения (\(S = 180\), \(b = 18\)):
\(
180 = 18 \cdot h_b
\)
4. Найдем высоту \(h_b\):
\(
h_b = 180 : 18 = 10 \text{ см}
\)
Ответ: высота, проведённая к меньшей стороне, равна \(10\) см.
Задание 3. Острый угол равнобедренной трапеции равен \(45^\circ\), а высота, проведённая из вершины тупого угла, делит основание на отрезки \(14\) см и \(34\) см. Найдите площадь трапеции.
Решение:
1. Анализ условия: Пусть дана равнобедренная трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) (большее) и \(BC\) (меньшее), где \(AB = CD\). Острый угол \(\angle D = 45^\circ\).
Проведем высоту \(CH\) из вершины тупого угла \(C\) к основанию \(AD\).
По условию, высота делит основание на отрезки \(AH = 34\) см и \(HD = 14\) см.
(Примечание: так как трапеция равнобедренная, высота из вершины \(B\) также отсекла бы отрезок \(14\) см от большего основания. Значит, меньшее основание \(BC = AH \mathbin{-} HD = 34 \mathbin{-} 14 = 20\) см. Проверим это).
2. Найдем высоту трапеции \(CH\):
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle CHD\).
Угол \(\angle D = 45^\circ\), угол \(\angle CHD = 90^\circ\), значит, угол \(\angle HCD = 180^\circ \mathbin{-} 90^\circ \mathbin{-} 45^\circ = 45^\circ\).
Так как углы при гипотенузе равны (\(\angle D = \angle HCD = 45^\circ\)), треугольник \(\triangle CHD\) — равнобедренный, значит \(CH = HD = 14\) см.
3. Найдем большее основание \(AD\):
\(
AD = AH + HD = 34 + 14 = 48 \text{ см}
\)
4. Найдем меньшее основание \(BC\):
Так как трапеция равнобедренная, высота \(CH\) отсекает от большего основания отрезок \(HD = 14\) см. Такая же высота из вершины \(B\) отсекла бы отрезок \(14\) см с другой стороны.
\(
BC = AD \mathbin{-} 2 \cdot HD = 48 \mathbin{-} 2 \cdot 14 = 48 \mathbin{-} 28 = 20 \text{ см}
\)
(Это также согласуется с тем, что \(BC = AH \mathbin{-} HD = 34 \mathbin{-} 14 = 20\) см).
5. Найдем площадь трапеции:
\(
S = \frac{BC + AD}{2} \cdot CH = \frac{20 + 48}{2} \cdot 14 = \frac{68}{2} \cdot 14 = 34 \cdot 14 = 476 \text{ см}^2
\)
Ответ: площадь трапеции равна \(476 \text{ см}^2\).
Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии для 8 класса с ответами и решениями (2 варианта), которые используются в комплекте с федеральным учебником по геометрии Л.С. Атанасян и др. (с 2023 г.). Ответы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания. Код материалов: Геометрия 8 класс Самостоятельная 6.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)