Самостоятельная работа № 8 по геометрии для 8 класса с ответами и решениями «Определение подобных треугольников» (2 варианта), которые используются в комплекте с федеральным учебником по геометрии Л.С. Атанасян и др. (с 2023 г.). Ответы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания. Код материалов: Геометрия 8 класс Самостоятельная 8.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 8 класс
Самостоятельная работа № 8
Тема учебника: Определение подобных треугольников
СР-8. Вариант 1 (задания)
Решения и ответы на Вариант 1
Задание 1. Дан треугольник со сторонами \(1,5\) см, \(2\) см и \(3\) см. Найдите стороны треугольника, подобного данному, если его периметр равен \(26\) см.
Решение:
1. Найдем периметр данного треугольника:
\(
P_1 = 1,5 + 2 + 3 = 6,5 \text{ см}
\)
2. Найдем коэффициент подобия (\(k\)): Он равен отношению периметров подобных треугольников.
\(
k = \frac{P_2}{P_1} = \frac{26}{6,5} = 4
\)
3. Найдем стороны искомого треугольника: Так как треугольники подобны, соответствующие стороны второго треугольника в \(k\) раз больше сторон первого.
• Первая сторона: \(1,5 \cdot 4 = 6\) см
• Вторая сторона: \(2 \cdot 4 = 8\) см
• Третья сторона: \(3 \cdot 4 = 12\) см
4. Проверка: Периметр полученного треугольника \(6 + 8 + 12 = 26\) см. Всё верно.
Ответ: стороны треугольника равны \(6\) см, \(8\) см и \(12\) см.
Задание 2. В подобных треугольниках \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) стороны \(BC\) и \(B_1C_1\) сходственные. Известно, что \(AB = 9\) см, \(BC = 12\) см, \(AC = 15\) см и \(\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{3}{4}\). Найдите стороны треугольника \(A_1B_1C_1\).
Решение:
1. Анализ: Отношение сходственных сторон \(\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{3}{4}\) — это и есть коэффициент подобия \(k\). Причем треугольник \(A_1B_1C_1\) больше, так как знаменатель дроби больше числителя.
2. Найдем сторону \(B_1C_1\):
\(
\frac{12}{B_1C_1} = \frac{3}{4}
\)
\(
3 \cdot B_1C_1 = 12 \cdot 4
\)
\(
3 \cdot B_1C_1 = 48
\)
\(
B_1C_1 = 16 \text{ см}
\)
3. Найдем остальные стороны: Так как треугольники подобны, соответствующие стороны пропорциональны. Мы можем найти их через коэффициент подобия или через пропорции.
• Сторона \(A_1B_1\) соответствует стороне \(AB\):
\(
\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{3}{4} \implies \frac{9}{A_1B_1} = \frac{3}{4} \implies 3 \cdot A_1B_1 = 36 \implies A_1B_1 = 12 \text{ см}
\)
• Сторона \(A_1C_1\) соответствует стороне \(AC\):
\(
\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{3}{4} \implies \frac{15}{A_1C_1} = \frac{3}{4} \implies 3 \cdot A_1C_1 = 60 \implies A_1C_1 = 20 \text{ см}
\)
Ответ: стороны треугольника \(A_1B_1C_1\) равны \(A_1B_1 = 12\) см, \(B_1C_1 = 16\) см, \(A_1C_1 = 20\) см.
СР-8. Вариант 2 (задания)
Решения и ответы на Вариант 2
Задание 1. Треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) подобны, и их сходственные стороны относятся как \(6 : 5\). Площадь треугольника \(ABC\) больше площади треугольника \(A_1B_1C_1\) на \(7,7 \text{ см}^2\). Найдите площади треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\).
Решение:
1. Вспомним свойство площадей подобных треугольников: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Коэффициент подобия \(k = \frac{6}{5}\). Значит, отношение площадей \(\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2 = \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25}\).
2. Обозначим площадь меньшего треугольника \(S_{A_1B_1C_1}\) за \(x \text{ см}^2\).
Тогда площадь большего треугольника \(S_{ABC}\) равна \(x + 7,7 \text{ см}^2\).
3. Составим уравнение на основе отношения площадей:
\(
\frac{x + 7,7}{x} = \frac{36}{25}
\)
4. Решим уравнение (по свойству пропорции):
\(
25 \cdot (x + 7,7) = 36 \cdot x
\)
\(
25x + 192,5 = 36x
\)
\(
36x \mathbin{-} 25x = 192,5
\)
\(
11x = 192,5
\)
\(
x = 192,5 : 11 = 17,5 \text{ см}^2
\)
(Это площадь треугольника \(A_1B_1C_1\)).
5. Найдем площадь треугольника \(ABC\):
\(
S_{ABC} = 17,5 + 7,7 = 25,2 \text{ см}^2
\)
Ответ: площадь треугольника \(A_1B_1C_1\) равна \(17,5 \text{ см}^2\), площадь треугольника \(ABC\) равна \(25,2 \text{ см}^2\).
Задание 2. В подобных треугольниках \(MNK\) и \(M_1N_1K_1\) стороны \(MN\) и \(M_1N_1\) сходственные. Известно, что \(MN = 12\) см, \(NK = 7\) см, \(KM = 8\) см и \(\frac{MN}{M_1N_1} = \frac{6}{5}\). Найдите стороны треугольника \(M_1N_1K_1\).
Решение:
1. Анализ: Отношение сходственных сторон \(\frac{MN}{M_1N_1} = \frac{6}{5}\). Это коэффициент подобия. Так как числитель больше знаменателя, треугольник \(MNK\) больше треугольника \(M_1N_1K_1\).
2. Найдем сторону \(M_1N_1\):
\(
\frac{12}{M_1N_1} = \frac{6}{5}
\)
\(
6 \cdot M_1N_1 = 12 \cdot 5
\)
\(
6 \cdot M_1N_1 = 60
\)
\(
M_1N_1 = 10 \text{ см}
\)
3. Найдем остальные стороны: Так как треугольники подобны, соответствующие стороны пропорциональны. Составим пропорции для оставшихся сторон.
• Сторона \(N_1K_1\) соответствует стороне \(NK\):
\(
\frac{NK}{N_1K_1} = \frac{6}{5} \implies \frac{7}{N_1K_1} = \frac{6}{5} \implies 6 \cdot N_1K_1 = 35 \implies N_1K_1 = \frac{35}{6} = 5\frac{5}{6} \text{ см}
\)
• Сторона \(K_1M_1\) соответствует стороне \(KM\):
\(
\frac{KM}{K_1M_1} = \frac{6}{5} \implies \frac{8}{K_1M_1} = \frac{6}{5} \implies 6 \cdot K_1M_1 = 40 \implies K_1M_1 = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3} \text{ см}
\)
Ответ: стороны треугольника \(M_1N_1K_1\) равны \(M_1N_1 = 10\) см, \(N_1K_1 = 5\frac{5}{6}\) см, \(K_1M_1 = 6\frac{2}{3}\) см.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии для 8 класса с ответами и решениями (2 варианта), которые используются в комплекте с федеральным учебником по геометрии Л.С. Атанасян и др. (с 2023 г.). Ответы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания. Код материалов: Геометрия 8 класс Самостоятельная 8.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)