Контрольная № 1 Алгебра 7 Мерзляк (угл.)

Контрольная работа «Линейное уравнение с одной переменной» по алгебре 7 класс Углубленное изучение с ответами по УМК Мерзляк, Поляков. Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания, а в случае необходимости помочь детям в выполнении домашней контрольной работы по математике. Контрольная работа № 1 Алгебра 7 Мерзляк (угл.) «Линейное уравнение с одной переменной».
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Алгебра 7 класс (угл.) Мерзляк
КР-01. Вариант 1

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Решите уравнение: Решите уравнение: 1) (2х – 3)(3x + 6)(2,8 – 0,4x) = 0;   2) (х+12)/9 – (х–1)/6 = (х+1)/3.
ОТВЕТ:  1) х₁ = 3/2 (или 1,5), х₂ = –2, х₃ = 7;  2) х = 3.
РЕШЕНИЕ:
1) (2х – 3)(3x + 6)(2,8 – 0,4x) = 0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1. 2x ─ 3 = 0 → x = 1,5
2. 3x + 6 = 0 → 3x = ─6 → x = ─2
3. 2,8 ─ 0,4x = 0 → ─0,4x = ─2,8 → x = 7
2) (x+12)/9 ─ (x─1)/6 = (x+1)/3
Умножим обе части на общий знаменатель 18:
2(x+12) ─ 3(x─1) = 6(x+1)
2x + 24 ─ 3x + 3 = 6x + 6
─x + 27 = 6x + 6
27 ─ 6 = 6x + x
21 = 7x
x = 3.

№ 2. Первой бригаде надо было отремонтировать 180 м дороги, а второй – 160 м. Первая бригада ремонтировала ежедневно 40 м дороги, а вторая – 25 м. Через сколько дней первой бригаде останется отремонтировать в 3 раза меньше дороги, чем второй?
ОТВЕТ: через 4 дня.
РЕШЕНИЕ: Остаток у первой: 180 ─ 40t
Остаток у второй: 160 ─ 25t
Уравнение: 180 ─ 40t = (160 ─ 25t)/3
Умножим на 3:
540 ─ 120t = 160 ─ 25t
540 ─ 160 = 120t ─ 25t
380 = 95t
t = 4
Проверка. Через 4 дня:
Первая, осталось: 180 ─ 160 = 20 м
Вторая, осталось: 160 ─ 100 = 60 м
60 / 20 = 3 — верно.

№ 3. Решите уравнение: 1) |3х – 6| – 2 = 10; 2) ||x| + 5| = 6; 3) |x + 4| = |x – 7|.
ОТВЕТ: 1) х₁ = 6; х₂ = –2; 2) х₁ = 1; х₂ = –1; 3) х = 1,5 (или 3/2).
РЕШЕНИЕ:
1) |3x – 6| – 2 = 10
|3x ─ 6| = 12
3x ─ 6 = 12 или 3x ─ 6 = ─12
3x = 18 → x = 6
3x = ─6 → x = ─2.
2) ||x| + 5| = 6
|x| + 5 = 6 (случай ─6 невозможен, т.к. |x|+5 ≥ 5)
|x| = 1 → x = 1; x = ─1
3) |x + 4| = |x – 7|
Возведём в квадрат или разберём по точкам.
x + 4 = x ─ 7 → нет решений
x + 4 = ─(x ─ 7)
x + 4 = ─x + 7
2x = 3
x = 1,5
Проверка: |1,5+4| = 5,5 , |1,5─7| = 5,5 — верно.

№ 4. Лодка плыла 2,4 ч по течению реки и 0,8 ч против течения. При этом путь, пройденный лодкой по течению реки, на 19,2 км больше, чем путь, пройденный против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
ОТВЕТ: 6 км/ч.
РЕШЕНИЕ:
Путь по течению: 2,4(v + 3)
Путь против течения: 0,8(v ─ 3)
Уравнение: 2,4(v+3) ─ 0,8(v─3) = 19,2
2,4v + 7,2 ─ 0,8v + 2,4 = 19,2
1,6v + 9,6 = 19,2
1,6v = 9,6
v = 6.
Проверка:
По течению: 2,4 • 9 = 21,6 км
Против течения: 0,8 • 3 = 2,4 км
Разность: 21,6 ─ 2,4 = 19,2 — верно.

№ 5. Найдите все целые значения а, при которых корень уравнения ах = –8 является натуральным числом.
ОТВЕТ: а = ─8; ─4; ─2; ─1.
РЕШЕНИЕ:
x = ─8/a — натуральное число (≥ 1, целое).
Тогда ─8/a ≥ 1 и a — целое, a ≠ 0.
Сначала ─8/a > 0 → a < 0.
Пусть ─8/a = n , n ∈ N.
Тогда a = ─8/n.
Чтобы a было целым, n должно быть делителем 8: n = 1, 2, 4, 8.
a = ─8, ─4, ─2, ─1.
Проверка:
n=1 : a=─8 , x=1 — нат.
n=2 : a=─4 , x=2 — нат.
n=4 : a=─2 , x=4 — нат.
n=8 : a=─1 , x=8 — нат.

№ 6. Каким выражением можно заменить звёздочку в равенстве 2х – 8 = 4x + *, чтобы получилось уравнение: 1) не имеющее корней; 2) имеющее бесконечно много корней; 3) имеющее один корень?
ОТВЕТ: 1) 2х – 8 = 4х – 2х. 2) 2х – 8 = 4х + 8 –16 –2х. 3) 2х – 8 = 4х + 1.

КР-01. Вариант 2

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Решите уравнение:
1) (5x + 30)(4x – 6)(4,8 – 0,8x) = 0; б) (x+3)/12 – (x-3)/4 = (x+2)/6.
ОТВЕТ: 1) х₁ = –6,  х₂ = 1,5,  х₃ = 6;  2) х = 2.
РЕШЕНИЕ:
1) (5x + 30)(4x – 6)(4,8 – 0,8x) = 0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1. 5x + 30 = 0 ⇒ 5x = ─30 ⇒ x = ─6
2. 4x – 6 = 0 ⇒ 4x = 6 ⇒ x = 1.5
3. 4.8 – 0.8x = 0 ⇒ 0.8x = 4.8 ⇒ x = 6.
2) (x+3)/12 ─ (x─3)/4 = (x+2)/6
Умножим обе части на общий знаменатель 12:
(x+3) ─ 3(x─3) = 2(x+2)
x + 3 ─ 3x + 9 = 2x + 4
─2x + 12 = 2x + 4
12 ─ 4 = 2x + 2x
8 = 4x ⇒ x = 2.

№ 2. В первом контейнере было 200 кг яблок, а во втором – 120 кг. Из первого контейнера брали ежедневно по 30 кг яблок, а из второго – по 25 кг. Через сколько дней в первом контейнере останется в 4 раза больше яблок, чем во втором?
ОТВЕТ: через 4 дня.
РЕШЕНИЕ: Пусть d — искомое количество дней.
Остаток в первом: 200 ─ 30d
Остаток во втором: 120 ─ 25d
Уравнение: 200 ─ 30d = 4 • (120 ─ 25d)
200 ─ 30d = 480 ─ 100d
─30d + 100d = 480 ─ 200
70d = 280 ⇒ d = 4
Проверка: Через 4 дня в первом: 200 ─ 120 = 80 кг
Во втором: 120 ─ 100 = 20 кг
80 = 4 • 20 — верно.

№ 3. Решите уравнение:
1) |4х + 8| + 3 = 11; 2) ||x| + 7| = 8; 3) |x + 5| = [x – 4|.
ОТВЕТ: 1) х₁ = –4;  х₂ = 0.  2) х₁ = 1;  х₂ = –1.  3) х = –1/2.
РЕШЕНИЕ:
1) |4x + 8| + 3 = 11
|4x + 8| = 8
4x + 8 = 8 или} 4x + 8 = ─8
4x = 0 ⇒ x = 0
4x = ─16 ⇒ x = ─4.
2) ||x| + 7| = 8
|x| + 7 = 8 или} |x| + 7 = ─8 (нет решений, т.к. модуль} ≥ 0)
|x| = 1 ⇒ x = 1, x = ─1.
3) |x + 5| = |x – 4|. Разбираем случаи
Случай 1: x + 5 = x ─ 4 ⇒ 5 = ─4 — нет решений.
Случай 2: x + 5 = ─(x ─ 4)
x + 5 = ─x + 4
2x = ─1 ⇒ x = ─0.5

№ 4. Лодка плыла 2,8 ч по течению реки и 1,6 ч против течения. При этом путь, пройденный лодкой по течению реки, на 36,8 км больше, чем путь, пройденный против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
ОТВЕТ: 16 км/ч.
РЕШЕНИЕ:
Скорость по течению: v + 4, путь: 2.8(v + 4)
Скорость против течения: v ─ 4, путь: 1.6(v ─ 4)
Уравнение: 2.8(v + 4) ─ 1.6(v ─ 4) = 36.8
2.8v + 11.2 ─ 1.6v + 6.4 = 36.8
1.2v + 17.6 = 36.8
1.2v = 19.2 ⇒ v = 16
Проверка: По течению: 2.8 • 20 = 56 км
Против течения: 1.6 • 12 = 19.2 км
Разность: 56 ─ 19.2 = 36.8 — верно.

№ 5. Найдите все целые значения а, при которых корень уравнения ах = –6 является натуральным числом.
ОТВЕТ: а = –1; –2; –3; –6.
РЕШЕНИЕ: ax = ─6 ⇒ x = ─6/a, a ≠ 0
x — натуральное число ⇒ x ≥ 1 (натуральные обычно 1, 2, 3,…).
─6/a ∈ N ⇒ 6/a ∈ Z^{─ \ (отрицательное целое})
a — целое, a ≠ 0.
Делители 6: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.
Подставим:
─ a = ─1: x = 6 — натуральное.
─ a = ─2: x = 3 — натуральное.
─ a = ─3: x = 2 — натуральное.
─ a = ─6: x = 1 — натуральное.
Остальные a дают x ≤ 0 или не целое.

№ 6. Каким выражением можно заменить звёздочку в равенстве 4x + 3 = 6x + *, чтобы получилось уравнение:
1) не имеющее корней;
2) имеющее бесконечно много корней;
3) имеющее один корень?
ОТВЕТ: 1) 4х + 3 = 6х –2х.  2) 4х + 3 = 6х +3 – 2х.  3) 4х + 3 = 6х + 1.

Вернуться к Списку контрольных работ

Вы смотрели: Контрольная работа «Линейное уравнение с одной переменной» по алгебре 7 класс (углубленное изучение) с ответами по УМК Мерзляк, Поляков. Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания, а в случае необходимости помочь детям в выполнении домашней контрольной работы по математике. Цитаты из пособия  «Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 7 класс» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.Рабинович, М.С.Якир, изд-во «Вентана-Граф») использованы в учебных целях.