Контрольная работа по геометрии 9 класс с ответами «Уравнение перпендикулярной прямой» по материалам обучения в МЭШ. Цитаты из пособий использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения, а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения. Код материалов: МЭШ Геометрия 9 Контрольная 2-3.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 9 класс.
Контрольная № 2-3
Тема: Уравнение перпендикулярной прямой.
Задание №1. Выберите уравнения, которые задают прямые, перпендикулярные прямой y = ─10x + 9. Варианты: 1) y = ─0,1x – 9; 2) y = 10x + 2; 3) y = 2x + 9; 4) y = 0,1x – 5.
Решение: Уравнение дано в виде y = kx + b, где k — угловой коэффициент.
У данной прямой k₁ = ─10.
Прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно ─1:
k₁ • k₂ = ─1
─10 • k₂ = ─1 ⇒ k₂ = (─1)/(─10) = 0,1
Значит, перпендикулярная прямая должна иметь k₂ = 0,1.
Проверим варианты:
► 1) k = ─0,1 — не подходит.
► 2) k = 10 — не подходит.
► 3) k = 2 — не подходит.
► 4) k = 0,1 — подходит.
✅ Ответ: y = 0,1x – 5.
Задание №2. Выберите уравнения, которые задают прямые, перпендикулярные прямой x + 4y ─ 2 = 0. Варианты: 1) ─8x + 2y + 3 = 0; 2) 4x + y ─ 2 = 0; 3) ─2x ─ 4y + 2 = 0.
Решение:
Приведём данную прямую к виду y = kx + b :
x + 4y ─ 2 = 0 ⇒ 4y = ─x + 2 ⇒ y = ─(1/4) x + ½
Угловой коэффициент k₁ = ─(1/4).
Для перпендикулярной прямой:
k₁ • k₂ = ─1 ⇒ ─(1/4) • k₂ = ─1 ⇒ k₂ = 4
Теперь проверим угловые коэффициенты у предложенных прямых.
► 1) ─8x + 2y + 3 = 0
2y = 8x ─ 3 ⇒ y = 4x ─ 1,5 ⇒ k = 4
Подходит.
► 2) 4x + y ─ 2 = 0
y = ─4x + 2 ⇒ k = ─4
Не подходит.
► 3) ─2x ─ 4y + 2 = 0
─4y = 2x ─ 2 ⇒ y = ─(1/2) x + (1/2) ⇒ k = ─½
Не подходит.
✅ Ответ: ─8x + 2y + 3 = 0.
Задание №3. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку A(─5; 5) и перпендикулярной прямой, заданной уравнением y = 0,1x + 6 :
y = _ • x + _.
Решение: У данной прямой k₁ = 0,1.
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой:
k₁ • k₂ = ─1 ⇒ 0,1 • k₂ = ─1 ⇒ k₂ = ─10
Искомая прямая: y = ─10x + b.
Подставим A(─5; 5) :
5 = ─10 • (─5) + b ⇒ 5 = 50 + b ⇒ b = ─45
Уравнение: y = ─10x ─ 45.
✅ Ответ: y = ─10 • x + (─45), т.е. y = ─10x ─ 45.
Задание №4. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку A(─5; 5) и перпендикулярной прямой, заданной уравнением 1,5x + 3y ─ 6 = 0
y = _ • x + _.
Решение:
Найдём угловой коэффициент данной прямой:
1,5x + 3y ─ 6 = 0 ⇒ 3y = ─1,5x + 6 ⇒ y = ─0,5x + 2
k₁ = ─0,5.
Для перпендикулярной прямой:
k₁ • k₂ = ─1 ⇒ ─0,5 • k₂ = ─1 ⇒ k₂ = 2
Искомая прямая: y = 2x + b.
Подставим A(─5; 5) :
5 = 2 • (─5) + b ⇒ 5 = ─10 + b ⇒ b = 15
Уравнение: y = 2x + 15.
✅ Ответ: y = 2 • x + 15.
Задание №5. Найдите уравнение прямой, которая:
– перпендикулярна прямой, проходящей через точки A(4; 4) и B(0; 6),
– проходит через точку C(3; 7).
_ • x + _ • y + _ = 0.
Решение:
► 1) Найдём угловой коэффициент прямой AB :
k_{AB} = (6 ─ 4)/(0 ─ 4) = 2/(─4) = ─½
► 2) Угловой коэффициент перпендикулярной прямой:
k_{⊥} • (─(1/2)) = ─1 ⇒ k_{⊥} = 2
► 3) Уравнение прямой с k = 2, проходящей через C(3; 7) :
y ─ 7 = 2(x ─ 3) ⇒ y ─ 7 = 2x ─ 6 ⇒ y = 2x + 1
► 4) Приведём к виду Ax + By + C = 0 :
2x ─ y + 1 = 0
Коэффициенты: A = 2, B = ─1, C = 1.
✅ Ответ: 2 • x + (─1) • y + 1 = 0.
Задание №6. Найдите уравнение прямой, которая:
– перпендикулярна прямой, проходящей через точки A(0; 3) и B(1; 4),
– проходит через точку C(3; ─5).
_ • x + _ • y + _ = 0.
Решение:
► 1) Угловой коэффициент AB :
k_{AB} = (4 ─ 3)/(1 ─ 0) = 1/1 = 1
► 2) Угловой коэффициент перпендикулярной прямой:
k_{⊥} • 1 = ─1 ⇒ k_{⊥} = ─1
► 3) Уравнение прямой с k = ─1, проходящей через C(3; ─5) :
y + 5 = ─1(x ─ 3) ⇒ y + 5 = ─x + 3 ⇒ y = ─x ─ 2
► 4) Приведём к виду Ax + By + C = 0 :
x + y + 2 = 0
Коэффициенты: A = 1, B = 1, C = 2.
✅ Ответ: 1 • x + 1 • y + 2 = 0.
Задание №7. Координаты вершин треугольника ABC : A(─5; ─3), B(─4; ─6) и C(─3; ─1).
Найдите уравнение прямой, содержащей высоту треугольника AH.
_ • x + _ • y + _ = 0.
Решение:
Высота AH перпендикулярна стороне BC, так как H — основание высоты из A на BC.
► 1) Найдём угловой коэффициент BC :
B(─4; ─6), C(─3; ─1)
k_{BC} = (─1 ─ (─6))/(─3 ─ (─4)) = 5/1 = 5
► 2) Угловой коэффициент высоты AH :
k_{AH} • 5 = ─1 ⇒ k_{AH} = ─1/5
► 3) Уравнение прямой с k = ─(1/5), проходящей через A(─5; ─3) :
y + 3 = ─(1/5) (x + 5) ⇒ y + 3 = ─(1/5) x ─ 1
y = ─(1/5) x ─ 4
► 4) Приведём к виду Ax + By + C = 0 :
Умножим на 5:
5y = ─x ─ 20 ⇒ x + 5y + 20 = 0
Коэффициенты: A = 1, B = 5, C = 20.
✅ Ответ: 1 • x + 5 • y + 20 = 0.
Задание №8. Координаты вершин треугольника ABC : A(─6; 3), B(─1; 2) и C(─2; 6).
Найдите уравнение прямой, содержащей высоту треугольника AH.
_ • x + _ • y + _ = 0.
Решение:
Высота AH перпендикулярна стороне BC.
► 1) Найдём угловой коэффициент BC :
B(─1; 2), C(─2; 6)
k_{BC} = (6 ─ 2)/(─2 ─ (─1)) = 4/(─1) = ─4
► 2) Угловой коэффициент высоты AH :
k_{AH} • (─4) = ─1 ⇒ k_{AH} = ¼
► 3) Уравнение прямой с k = (1/4), проходящей через A(─6; 3) :
y ─ 3 = (1/4) (x + 6) ⇒ y ─ 3 = (1/4) x + 3/2
y = (1/4) x + 9/2
► 4) Приведём к виду Ax + By + C = 0 :
Умножим на 4:
4y = x + 18 ⇒ x ─ 4y + 18 = 0
Коэффициенты: A = 1, B = ─4, C = 18.
✅ Ответ: 1 • x + (─4) • y + 18 = 0.
Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии 9 класс с ответами. Код материалов: МЭШ Геометрия 9 Контрольная 2-3.