Контрольная работа по геометрии 9 класс с ответами «Расстояние от точки до прямой» по материалам обучения МЭШ. Цитаты из пособий использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения, а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения. Код материалов: МЭШ Геометрия 9 Контрольная 2-4.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 9 класс.
Контрольная № 2-4
Тема: Расстояние от точки до прямой.
Задание №1. Используя правило, найдите расстояние от точки A(─5; ─1) до прямой y = ─3.
d = ?
Решение: Прямая y = ─3 в общем виде: 0 • x + 1 • y + 3 = 0.
Здесь a = 0, b = 1, c = 3.
Точка A(x₀, y₀) = (─5, ─1).
По формуле:
d = (|a x₀ + b y₀ + c|)/(√{a² + b²}) = (|0 • (─5) + 1 • (─1) + 3|)/(√{0² + 1²}) = (| ─1 + 3 |)/1 = |2|/1 = 2.
✅ Ответ: d = 2.
Задание №2. Используя правило, найдите расстояние от точки A(1; ─2) до прямой 4x + y ─ 2 = 0.
d = ?
Решение: a = 4, b = 1, c = ─2.
Точка A(1, ─2).
d = (|4 • 1 + 1 • (─2) ─ 2|)/(√{4² + 1²}) = (|4 ─ 2 ─ 2|)/(√{16 + 1}) = |0|/√17 = 0.
Проверка: подставим x = 1, y = ─2 в уравнение: 4• 1 + (─2) ─ 2 = 0 — верно, значит точка лежит на прямой.
✅ Ответ: d = 0.
Задание №3. Найдите расстояние от точки A(2; ─8) до прямой y = 4x + 3.
d = ?
Решение:
Приведём уравнение к виду ax + by + c = 0 :
y = 4x + 3 → 4x ─ y + 3 = 0.
a = 4, b = ─1, c = 3.
Точка A(2, ─8).
d = (|4 • 2 + (─1) • (─8) + 3|)/(√{4² + (─1)²}) = (|8 + 8 + 3|)/(√{16 + 1}) = 19/√17.
✅ Ответ: d = 19/√17.
Задание №4. Найдите расстояние от точки A(─2; 4) до прямой 5x + 12y + 27 = 0.
d = ?
Решение:
a = 5, b = 12, c = 27.
Точка A(─2, 4).
d = (|5 • (─2) + 12 • 4 + 27|)/(√{5² + 12²}) = (|─10 + 48 + 27|)/(√{25 + 144}) = |65|/√169 = 65/13 = 5.
✅ Ответ: d = 5.
Задание №5. Найдите высоту AH треугольника ABC, если координаты его вершин A(─1; 5), B(3; 2) и C(─3; ─3).
AH = ?
Решение:
Высота AH — это расстояние от точки A до прямой BC.
1. Уравнение прямой BC :
B(3, 2), C(─3, ─3).
Угловой коэффициент: k = (─3 ─ 2)/(─3 ─ 3) = (─5)/(─6) = 5/6.
Уравнение: y ─ 2 = 5/6(x ─ 3).
Умножим на 6: 6y ─ 12 = 5x ─ 15 → 5x ─ 6y ─ 3 = 0.
2. Расстояние от A(─1, 5) до 5x ─ 6y ─ 3 = 0 :
d = (|5 • (─1) ─ 6 • 5 ─ 3|)/(√{25 + 36}) = (|─5 ─ 30 ─ 3|)/√61 = (|─38|)/√61 = 38/√61.
✅ Ответ: AH = 38/√61.
Задание №6. Найдите высоту AH треугольника ABC, если координаты его вершин A(─3; 6), B(4; 3) и C(─4; ─1).
AH = ?
Решение:
Высота AH — расстояние от A до прямой BC.
1. Уравнение прямой BC :
B(4, 3), C(─4, ─1).
Угловой коэффициент: k = (─1 ─ 3)/(─4 ─ 4) = (─4)/(─8) = 1/2.
Уравнение: y ─ 3 = (1/2) (x ─ 4).
Умножим на 2: 2y ─ 6 = x ─ 4 → x ─ 2y + 2 = 0.
2. Расстояние от A(─3, 6) до x ─ 2y + 2 = 0 :
d = (|1 • (─3) ─ 2 • 6 + 2|)/(√{1 + 4}) = (|─3 ─ 12 + 2|)/√5 = (|─13|)/√5 = 13/√5.
✅ Ответ: AH = 13/√5.
Задание №7. Прямые, заданные уравнениями 4x + 3y ─ 24 = 0 и 3x ─ 4y + 7 = 0, делят плоскость на четыре угла. Определите, какие из точек лежат на биссектрисах образовавшихся углов.
1) лежат на одной из биссектрис — ?
2) не лежат ни на одной из биссектрис — ?
Варианты: A(10; 3), B(─4; 3), C(3; 4).
Решение:
Биссектрисы — геометрическое место точек, равноудалённых от двух прямых.
Пусть L₁: 4x + 3y ─ 24 = 0, L₂: 3x ─ 4y + 7 = 0.
Для точки M(x, y) условие:
(|4x + 3y ─ 24|)/(√{4² + 3²}) = (|3x ─ 4y + 7|)/(√{3² + (─4)²}).
Знаменатели равны 5, поэтому:
|4x + 3y ─ 24| = |3x ─ 4y + 7|.
Это даёт два уравнения:
4x + 3y ─ 24 = 3x ─ 4y + 7 или 4x + 3y ─ 24 = ─(3x ─ 4y + 7).
Первое: x + 7y ─ 31 = 0.
Второе: 4x + 3y ─ 24 = ─3x + 4y ─ 7 → 7x ─ y ─ 17 = 0.
Проверим точки:
A(10, 3) :
|4• 10 + 3• 3 ─ 24| = |40 + 9 ─ 24| = 25,
|3• 10 ─ 4• 3 + 7| = |30 ─ 12 + 7| = 25 → равны, значит лежит на биссектрисе.
B(─4, 3) :
|4• (─4) + 3• 3 ─ 24| = |─16 + 9 ─ 24| = 31,
|3• (─4) ─ 4• 3 + 7| = |─12 ─ 12 + 7| = 17 → не равны.
C(3, 4) :
|4• 3 + 3• 4 ─ 24| = |12 + 12 ─ 24| = 0,
|3• 3 ─ 4• 4 + 7| = |9 ─ 16 + 7| = 0 → равны, значит лежит на биссектрисе (точнее, в пересечении прямых, которое тоже принадлежит биссектрисам).
Итак:
► 1) лежат на одной из биссектрис — A, C.
► 2) не лежат ни на одной из биссектрис — B.
✅ Ответ: 1) A, C; 2) B.
Задание №8. В египетском прямоугольном треугольнике ABC стороны равны AB = 3, AC = 4, BC = 5. На стороне AC отметили точку K так, что CK = 1. Точка D на отрезке BK такова, что KD : DB = 1 : 3. Найдите расстояние от точки D до сторон AC и BC треугольника ABC :
► 1) расстояние до AC равно ?
► 2) расстояние до BC равно ?
► 3) Что можно сказать про точку D ?
Решение:
Расположим треугольник в координатах:
A(0, 0), C(4, 0), B(0, 3) (прямой угол при A, AC по оси x, AB по оси y).
CK = 1 ⇒ K на AC, C(4,0), A(0,0), CK = 1 ⇒ K на расстоянии 1 от C к A, т.е. K(3, 0).
KD : DB = 1 : 3 ⇒ D делит отрезок BK в отношении BD : DK = 3 : 1 (считая от B к K), т.е. D ближе к K.
Координаты D :
B(0,3), K(3,0).
λ = BD/DK = 3, тогда:
x_D = (x_B + λ x_K)/(1 + λ) = (0 + 3 • 3)/4 = 9/4 = 2.25,
y_D = (y_B + λ y_K)/(1 + λ) = (3 + 3 • 0)/4 = 3/4 = 0.75.
► 1) Расстояние от D до AC : AC лежит на оси x(y = 0), расстояние = |y_D ─ 0| = 0.75.
► 2) Расстояние от D до BC :
Уравнение BC : B(0,3), C(4,0).
Уравнение: y ─ 3 = (0 ─ 3)/(4 ─ 0)(x ─ 0) ⇒ y ─ 3 = ─ 3/4x ⇒ 3x + 4y ─ 12 = 0.
Расстояние от D(2.25, 0.75) :
d = (|3 • 2.25 + 4 • 0.75 ─ 12|)/(√{9 + 16}) = (|6.75 + 3 ─ 12|)/√25 = (|─2.25|)/5 = 0.45.
► 3) Что можно сказать про точку D ?
Расстояние до AC = 0.75, до BC = 0.45, до AB можно найти: AB: x = 0, расстояние |x_D| = 2.25.
Точка D лежит внутри треугольника, не на биссектрисе (расстояния до AC и BC разные).
✅ Ответ: 1) 0.75; 2) 0.45; 3) Точка D лежит внутри треугольника ABC.
Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии 9 класс с ответами. Код материалов: МЭШ Геометрия 9 Контрольная 2-4.