Контрольная работа по геометрии 9 класс с ответами «Уравнение окружности» по материалам обучения МЭШ. Цитаты из пособий использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения, а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения. Код материалов: МЭШ Геометрия 9 Контрольная 2-5.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 9 класс.
Контрольная № 2-5
Тема: Уравнение окружности.
Задание №1. Постройте окружность, заданную уравнением (x + 5)² + (y + 3)² = 16.
(Перемещая красные точки, добейтесь того, чтобы синяя окружность имела уравнение (x + 5)² + (y + 3)² = 16.) Какие координаты имеет зеленая точка?
Решение:
1. Уравнение окружности в стандартном виде: (x ─ a)² + (y ─ b)² = R², где (a; b) — центр, R — радиус.
2. Данное уравнение: (x + 5)² + (y + 3)² = 16.
Перепишем: (x ─ (─5))² + (y ─ (─3))² = 4².
Новый центр: O(─5; ─3), новый радиус R = 4.
3. На рисунке изначально центр в (4; 1), а зеленая точка в (4; 2,4), т.е на расстоянии радиуса = 1,4 по оси Y. Чтобы получить нужную окружность, надо переместить центр в (─5; ─3), а радиус выставить 4 по оси Y вверх.
4. Зеленая точка после перемещения центра и изменения радиуса примет координаты (─5; ─3 + 4) = (─5; 1).
Дополнительно проверим наше построение с помощью гомотетии.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
✅ Ответ: (─5; 1).
Задание №2. Постройте окружность, заданную уравнением x² + y² = 4.
(Перемещая красные точки, добейтесь того, чтобы синяя окружность имела уравнение x² + y² = 4.) Какие координаты имеет зеленая точка?
Решение:
1. Уравнение x² + y² = 4 — окружность с центром (0; 0) и радиусом R = 2.
2. Начальные данные: центр в (4; 1), точка на окружности (5; 2), зеленая точка (4; 2,4).
После перемещения центра в (0; 0) и радиуса 2 зеленая точка будет на новой окружности.
1. Уравнение окружности в стандартном виде: (x ─ a)² + (y ─ b)² = R², где (a; b) — центр, R — радиус.
2. Уравнение x² + y² = 4 — окружность с новым центром (0; 0) и новым радиусом R = 2.
3. На рисунке изначально центр в (4; 1), а зеленая точка в (4; 2,4), т.е на расстоянии радиуса = 1,4 по оси Y. Чтобы получить нужную окружность, надо переместить центр в (0; 0), а радиус выставить 2 по оси Y вверх.
4. Зеленая точка после перемещения центра и изменения радиуса примет координаты (0; 0 + 2) = (0; 2).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
✅ Ответ: (0; 2).
Задание №3. Напишите уравнение окружности с центром в точке O(6; 2) и радиусом R = 2.
Решение: Уравнение окружности: (x ─ a)² + (y ─ b)² = R².
Подставляем a = 6, b = 2, R = 2:
(x ─ 6)² + (y ─ 2)² = 4.
✅ Ответ: (x ─ 6)² + (y ─ 2)² = 4.
Задание №4. Напишите уравнение окружности с центром в точке O(3; 5) и радиусом R = 3.
Решение: (x ─ 3)² + (y ─ 5)² = 9.
✅ Ответ: (x ─ 3)² + (y ─ 5)² = 9.
Задание №5. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат и проходящей через точку A(3; 6).
Решение:
1. Центр (0; 0), уравнение: x² + y² = R².
2. Радиус равен расстоянию от центра до точки A:
R = √{(3 ─ 0)² + (6 ─ 0)²} = √{9 + 36} = √45 = 3√5.
3. Уравнение: x² + y² = (3√5)² = 45.
Проверка: Подставим A(3; 6): 3² + 6² = 9 + 36 = 45 — верно.
✅ Ответ: x² + y² = 45.
Задание №6. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат и проходящей через точку A(5; 1).
Решение:
R² = 5² + 1² = 25 + 1 = 26.
Уравнение: x² + y² = 26.
Проверка: 5² + 1² = 26 — верно.
✅ Ответ: x² + y² = 26.
Задание №7. Напишите уравнение окружности, диаметром которой является отрезок MN, где координаты точек M(3; ─1) и N(6; ─6).
Решение:
1. Центр окружности — середина MN:
x_c = (3 + 6)/2 = 4,5,
y_c = (─1 + (─6))/2 = (─7)/2 = ─3,5.
Центр O(4,5; ─3,5).
2. Радиус равен половине длины MN:
MN = √{(6 ─ 3)² + (─6 ─ (─1))²} = √{3² + (─5)²} = √{9 + 25} = √34.
R = √34/2, R² = 34/4 = 8,5.
3. Уравнение:
(x ─ 4,5)² + (y + 3,5)² = 8,5.
Проверка:
Для M(3; ─1): (3 ─ 4,5)² + (─1 + 3,5)² = (─1,5)² + (2,5)² = 2,25 + 6,25 = 8,5 — верно.
✅ Ответ: (x ─ 4,5)² + (y + 3,5)² = 8,5.
Задание №8. Напишите уравнение окружности, диаметром которой является отрезок MN, где координаты точек M(─5; 4) и N(4; ─7).
Решение:
1. Центр — середина MN:
x_c = (─5 + 4)/2 = (─1)/2 = ─0,5,
y_c = (4 + (─7))/2 = (─3)/2 = ─1,5.
Центр O(─0,5; ─1,5).
2. Радиус:
MN = √{(4 ─ (─5))² + (─7 ─ 4)²} = √{9² + (─11)²} = √{81 + 121} = √202.
R = √202/2, R² = 202/4 = 50,5.
3. Уравнение:
(x + 0,5)² + (y + 1,5)² = 50,5.
Проверка:
Для M(─5; 4): (─5 + 0,5)² + (4 + 1,5)² = (─4,5)² + (5,5)² = 20,25 + 30,25 = 50,5 — верно.
✅ Ответ: (x + 0,5)² + (y + 1,5)² = 50,5.
Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии 9 класс с ответами. Код материалов: МЭШ Геометрия 9 Контрольная 2-5.